四川省绵阳市高中2013届高三第一次诊断性考试数学（理）试题（清晰扫描版）.doc

绵阳市高2013级第一次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BCBCC AADDB AB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．-4 14．2 15． 16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）f (x)=a·b =(cos2x，1)·(1，sin2x)
=sin2x+ cos2x
=2 sin(2x+)， ……………………………………………6分
∴ 最小正周期，
令2x+=，k∈Z，解得x=，k∈Z，
即f (x)的对称轴方程为x=，k∈Z．…………………………………8分
（Ⅱ）当x∈[0，]时，即0≤x≤，可得≤2x+≤，
∴ 当2x+=，即x=时，f (x)取得最大值f ()=2；
当2x+=，即x=时，f (x)取得最小值f ()=-1．
即f (x) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由S3+S5=58，得3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58， ①
∵ a1，a3，a7成等比数列，a32=a1a7，
即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，整理得a1=2d，
代入①得d=2， a1=4，
∴ an=2n+2． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a8=18，b5·b6+b4·b7=2b5·b6=18，解得b5·b6 =9．
∵ T10= log3b1 +log3b2+ log3b3+…+ log3b10
=log3(b1·b10) + log3(b2·b9) +…+ log3(b5·b6)
=5log3(b5·b6)
=5log39
=10． ……………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由已知y= f (x)是二次函数，且f (x)<0的解集是(0，5)，
可得f (x)=0的两根为0，5，
于是设二次函数f (x)=ax(x-5)，
代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a=1，
∴ f (x)=x(x-5)． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x3-(4k-10)x+5=x3+2x2-4kx+5，
于是，
∵ h(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，
∴ x=-2是h(x)的极大值点，
∴ ，解得k1． …………………………6分
∴ h(x)=x3+2x2-4x+5，进而得．
令，得．
由下表：
x
(-3，-2)
-2
(-2，)

(，1)

+
0
-
0
+
h(x)
↗
极大
↘
极小
↗

可知：h(-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h(1)=13+2×12 -4×1+5=4，
h(-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h()=()3+2×()2-4×+5=，
∴ h(x)的最大值为13，最小值为．……………………………………12分
20．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC，
由正弦定理，得，
即．①
由余弦定理得，
结合，得． …………………………………………………6分
（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA，
∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A，
∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA． ………………………………………………8分
若cosA=0，即A=时，△ABC是直角三角形，且B=，
于是b=ctanB=2tan=，∴ S△ABC=bc=． ……………………10分
若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②
联立①②，结合c=2，解得a=，b=，
∴ S△ABC=absinC=×××=．
综上，△ABC的面积为或．………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）当t=1时，2an-2=0，得an=1，
于是数列{an}为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分
当t≠1时，由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1，解得a1=1，
由(t-1)Sn=2tan-t-1，得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1，
两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan，
, ∴ （常数）．
∴ 数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．………………………4分
（Ⅱ）∵ q= f (t)=，b1=a1=1，bn+1=f (bn)= ，
∴ ，
∴ 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，于是，
∴ ．………………………………………………………………………8分
（III）当t=时，由（I）知an=，
于是数列{cn}为：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…
设数列{an}的第k项是数列{cn}的第mk项，即ak=，
当k≥2时，mk=k+[1+2+3+…+(k-1)]=，
∴ m62=，m63=．
设Sn表示数列{cn}的前n项和，
则S2016=[1+++…+]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62]
显然 1+++…+=，
∵ (2n)2-(2n-1)2=4n-1，
∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62
=-1+22-32+42-52+62-…-612+622
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61)
=3+7+11+…+123
=
=1953．
∴ S2016=+1953=1955-．
∴ S2012=S2016-(c2016+c2015+c2014+c2013)
=1955--(+62+62+62)
=1769-．
即数列{cn}的前2012项之和为1769-．…………………………………12分
22．解：（Ⅰ）由已知：，
∴由题知，解得a=1．
于是，
当x∈(0，1)时，，f (x)为增函数，
当x∈(1，+∞)时，，f (x)为减函数，
即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）x1∈(0，+∞)，f (x1) ≤f (1)=0，即f (x1)的最大值为0，
由题知：对x1∈(0，+∞)，x2∈(-∞，0)使得f (x1)≤g(x2)成立，
只须f (x)max≤g(x)max．
∵ ≤，
∴ 只须≥0，解得k≥1．………………………………………10分
（Ⅲ）要证明(n∈N*，n≥2)．
只须证，
只须证．
由（Ⅰ）当时，，f (x)为减函数，
f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴ 当n≥2时，，
，
<
，
∴ ．………………………………………14分