（高考第一轮教案）不等式典型试题.doc

五、不等式（命题人：仲元中学 邹传庆）

1（人教A版82页例1）
已知，求证：.
变式1：（1）如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
解：选A
设计意图：不等式基本性质的熟练应用

变式2：设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.
解：选A
设计意图：不等式基本性质的熟练应用

2（人教A版89页习题3.2A组第3题）
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
变式1：解关于x的不等式
解：下面对参数m进行分类讨论：
①当m=时，原不等式为 –(x+1)>0，∴不等式的解为
②当时，原不等式可化为
，∴不等式的解为或
③当时，原不等式可化为
，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式无解
综上述，原不等式的解集情况为：
①当时，解为；
②当时，无解；
③当时，解为；
④当m=时，解为；
⑤当时，解为或
设计意图：含参数的不等式的解法.

变式2：设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？
解：（1）M［1，4］有两种情况其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－4(a+2)=4(a2－a－2)
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］；
当Δ=0时，a=－1或2；
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］。
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，).
设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.

3（人教A版103页练习1（1））
求的最大值，使满足约束条件.

变式1：设动点坐标（x，y）满足
（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，则x2+y2的最小值为( )
A B C D10
解：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10 选D
设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.

4.(人教A版105习题3.3A组第2题)
画出不等式组表示的平面区域.
变式1：点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______
解：－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞
设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.

变式2：求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积
解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或或或
其平面区域如图
∴面积S=×4×4=8
设计意图：不同形式的可行域的作图.

5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y =＋的值域为
解：y=＋= (＋1)＋－1≥2-1=1 ，所以值域为[1, +∞)
设计意图：均值不等式的灵活应用.

变式2：设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为＿＿
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1
∴==
≤==
当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值
解法二: 令(0≤≤)
则=cos=
≤=
当=,
即=时,x=,y=时，取得最大值
设计意图：均值不等式的灵活应用.

6．(人教A版115复习参考题A组第2题)
已知集合，，求.

变式1：已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0， ①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1 ②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2
设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x的不等式
解：下面对参数m进行分类讨论：
①当m=时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为
②当时，原不等式可化为
，∴不等式的解为或
③当时，原不等式可化为
，
当时原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式无解
综上述，原不等式的解集情况为：
①当时，解为；
②当时，无解；
③当时，解为；
④当m=时，解为；
⑤当时，解为或
设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

7. (人教A版115复习参考题B组第1题)
求证：

变式1：己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，

设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若，求证ab与 不能都大于
证明：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

8. (人教A版116复习参考题B组第7题)
要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
解:不对
设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：
，
①×②得G2=, ∴G=
由于，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对
设计意图：基本不等式的应用。