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初一数学竞赛系列讲座(9)
　应用题（一）

一、 知识要点
1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。
2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：
(1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；
(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
(3) 根据这个相等关系列出方程；
(4) 解这个方程，求出未知数的值；
(5) 写出答案(包括单位名称)。
3、行程类问题
行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度´时间=路程
4、数字类问题
数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。
解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。

二、 例题精讲
【例1】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)
分析：本题用方程来解简单自然。
解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组

解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法：
(1)+(2)得
(x+y)( +)=9+
所以 x+y= (3)
(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-
所以 x-y= (4)
由(3)、(4)得 x=
所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。

【例2】公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)
分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。
解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得

两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5
评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。

【例3】 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)
分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。
解：如图，设小镇为D，傍晚
汽车在E 休息 A D C E B
由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，EB=CE
两式相加得：AD+ EB=DE
因为DE=400千米，所以AD+ EB=´400=200千米，
从而A、B两市相距400+200=600千米
评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。

【例4】 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1> v2> v3> v >0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：
(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；
(2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。
在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为
解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：
S i=(vi-v)´1+v´1= vi ´1(i=1、2、3)
第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)
由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。
评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

【例5】在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)
解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝ ①
甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝ ②
②－①可得到－＝－＝ ③
④
⑤
甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝
＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．
评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和´时间；
追及问题的关系式是：追及路程=速度差´时间。

【例6】 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。
解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7
由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2
∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926
答：这个三位数是926
评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。

【例7】 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。
解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得

解这个方程得：x=857, ∴999-x=142
答：大数为857，小数为142。

【例8】 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了1小时里程碑上的数字为，又行驶了1小时里程碑上的数字为，求每次看到的数字和卡车的速度。
分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。
解：依题意得：-=-，即+=2，
所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B
因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6
故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。
评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。

【例9】 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为，试问擦去的数是什么数？
分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。
解：设写出了n个自然数1，2，…，n中擦去的是k，则由题意得：

即
因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69
于是由，可解得k=7，即擦去的数为7。
评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。

三、 巩固练习
（一）选择题
1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若a≠b，则( )先到达N地。
A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定
2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )
A、24千米 B、12千米 C、48千米 D、40千米
3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )
A、2千米/时 B、4千米/时 C、5千米/时 D、6千米/时
（二）解答题
1、某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．
解 设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程
(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，
　 解之得 x=24(人)．
　　所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有3×24=72(人)．
全年级有学生 4×24=96(人)．　
2、 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？
解 设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有 22m+1=n(m-1)．
　　所以
　　因为n为自然数，所以23/m-1为整数，因此m-1=1，或m-1=23，
　　即 m=2或m=24.
　　当 m=2时，n=45(不合题意，舍去)；当m=24时，n=23(符合题意)．
　　所以旅客人数为：n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．
　　答 起初有汽车24辆，有乘客529人．

四、 小结
应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题。应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证。这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义。