湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试理科数学试题.doc

湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．复数的虚部为
A． B．— C．2 D．-2
2．若集合
A． B． C． D．
3．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数m的值是
A．-1 B．2 C．3 D．-1或2
4．在AABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足
的值为
A．-4 B．-2 C．2 D．4
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料l千克、B原料2千克；生产乙产品l桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是
A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元
6．如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形．
直角三角形的较短边长为2．向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正
方形内的概率为
A． B．
C． D．
7．若函数在（1，2）内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间（1，2） 至少二等分
A．6次 B．7次 C．8次 D．9次
8．已知的最小值为
A． B． C． D．
9．已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，
的值
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可以为正数也可以为负数
10．如右图，函数的图象为折线ABC，设
，则函数的图象为

二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分， 共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，横棱两可均不得分。）
11．设函数则c= 。
12．已知垂直，则实数λ的值为
13．已知某算法的流程图如图所示，输出的值依次记为若程序运行中输出的一个数组是（t，-8），则t= ．

14．已知函数y=g（x）图象由f（x）= sin 2x的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则= ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序 号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）
15．（选修4-1:几何证明选讲）如图，P是圆O外的一点，PD为切线，
D为切点，割线PEF经过圆心O．PF=6，PD=，则
∠DFP= ．
16．（选修4-4:坐标系与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B，则|AB|= ．
三、解答题（本大题共5小题，满分65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本大题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y= 2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

18．（本小题满分12分）
已知等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Sn，若不等式恒成立，求实数k的取值范围．

19．（本大题满分12分）
已知函数处取得极值，且在点的切线斜率为2．
（l）求a、b的值
（2）若关于x的方程上恰有两个不相等的实数根，求 实数m的取值范围，

20．（本大题满分12分）
某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，
住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从
该年级抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得
了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）
的数据，按照以下区间分为八组：[0,30）,[30,60）,
[60,90）,[90, 120）,[120,150）,[150,180），[180,210）,
[210．240）, 得到频率分布直方图如右图，已知抽
取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的
人数为5人．
（1）求n的值并求有效学习时间在[90，120）内的
频率；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，下列2×2列联表，问：是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：
参考列表：

21．（本大题满分13分）
已知为递增的等比数列，且
（l）求数列的通项公式；
（2）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由．

22．（本大题满分14分）
设x=3是函数的一个极值点．
（l）求a与b的关系式（用a表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）设成立，求a 的取值范围．

参考答案

一．选择题：CCBAC　　ABDAD
二．填空题：11．　　12．　　13．81　　14．　　　15．　16．
三．解答题：
17．(1)解： 2分
　　　　　　　 3分
∴最小正周期为 4分
由，得 (k∈Z)
∴函数f (x)的单调递减区间是 (k∈Z) 6分
(2)解：
因为x是三角形的内角，所以 8分
由得：　①
函数y = 2f (x) + k恰有两个零点，即①在(0，)有两个根
∴或 10分
即－3 < k < 0或－4 < k <－3
∴实数k的取值范围是{ k |－3 < k < 0或－4 < k <－3}． 12分
18．(1)解：设等比数列的公比为，
∵，n∈N*，∴，

∴ 2分
又，∴ 4分
∴ n∈N* ． 6分
(2)解： 8分
∴，∴． 10分
令，随的增大而增大，∴
∴，．即实数的取值范围为． 12分
19．(1)解： 1分
∴ 3分
解得： 5分
(2)解：由(1)知，
∴即 6分
设，则 7分
∴g (x)在上递增，在上递减 9分
∴，，
为使方程在区间上恰有两个不相等的实数根，则
11分
解得： 12分
20．(1)解：设第i组的频率为Pi (i = 1，2，…，8)
由由频率分布直方图知：
∴有效学习时间少于60分钟的频率为，故，∴n = 100 2分
又
∴
∴有效学习时间在[90，120)内的频率为． 4分
(2)解：抽取的100人中，走读生有人，住读生25人，∴a = 25，b = 10 6分

由于K2 > 3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关． 8分
(3)解：由(1)知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人

∴ 10分
∴X的分布列为
P
0
1
2
3
X

12分
21．(1)解：∵{an}为递增的等比数列，∴其公比为正数
又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}
∴a1 = 1，a3 = 4，a5 = 16 2分
故
∴{an}的通项公式为 4分
(2)解：假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d
当n = 1时，a1b1 = 1，又a1 = 1，∴b1 = 1
当n = 2时，a1b2 + a2b1 = 4，即b2 + 2b1 = 4，∴b2 = 2 6分
故d = b2－b1 = 1，bn = b1 + (n－1)d = n 8分
下面证明当bn = n时， a1bn + a2bn－1 + a3bn－2 + … ＋ anb1 = 2n+1－n－2对一切n∈N*都成立
设Sn = a1bn + a2bn－1 + a3bn－2 + … ＋ anb1
即Sn = 1×n + 2×(n－1) + 22×(n－2) + 23×(n－3) + … + + 2n－2×2 + 2n－1×1　　①
2Sn = 2×n + 22×(n－1) + 23×(n－2) + 24×(n－3) + … + + 2n－1×2 + 2n×1　　② 10分
②－①得：
∴存在等差数列{bn}，使得a1bn + a2bn－1 + a3bn－2 + … ＋ anb1 = 2n+1－n－2对一切n∈N*都成立
13分
另解：假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d，则
　　①
　　② 6分
②－①得： 8分
　　　　　 10分
∴，解得：b1 = 1，d = 1，∴bn = n
故存在等差数列{bn}，使得a1bn + a2bn－1 + a3bn－2 + … ＋ anb1 = 2n+1－n－2对一切n∈N*都成立
13分
22．(1)解：
由得：，即b = －3－2a， 2分
故
令，得x1 = 3或x2 = －a－1，由于x = 3是极值点，
所以，那么a≠－4
当a <－4时，x2 > 3 = x1，则
在区间(－∞，3)上，，f (x)为减函数；
在区间(3，－a－1)上，，f (x)为增函数；
在区间(－a－1，＋∞)上，，f (x)为减函数 4分
当a >－4时，x2 < 3 = x1，则
在区间(－∞，－a－1)上，，f (x)为减函数；
在区间(－a－1，3)上，，f (x)为增函数；
在区间(3，＋∞)上，，f (x)为减函数. 6分
(2)解：由(1)知，当a > 0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，
而f (0) =－(2a + 3)e3 < 0，f (4) = (2a + 13)e－1 > 0，f (3) = a + 6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a + 3)e3，a + 6] 8分
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2 + ，(a2 + )e4]， 10分
由于(a2 + )－(a + 6) = a2－a＋ = ()2≥0，所以只须仅须
(a2＋)－(a＋6) < 1且a > 0，解得0 < a <
故a的取值范围是(0，). 14分

·9·