实验指导书3多元函数微积分学.doc

项目三 多元函数微积分

实验1 多元函数微分（基础实验）

实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元
函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元
函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.

基本命令
1.求偏导数的命令D
命令D既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如:
求对x的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x]
求对y的偏导数, 则输入D[f[x,y,z],y]
求对x的二阶偏导数, 则输入D[f[x,y,z],{x,2}]
求对的混合偏导数, 则输入D[f[x,y,z],x,y]
…………
2.求全微分的命令Dt
该命令只用于求二元函数的全微分时, 其基本格式为
Dt[f[x,y]]
其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y], 它们分别表示自变量的微分dx,dy. 若函数的表
达式中还含有其它用字符表示的常数, 例如a, 则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a], 若采用选
项Constants->{a}, 就可以得到正确结果, 即只要输入
Dt[f[x,y],Constants->{a}]
3.在平面上作二元函数的等高线的命令ContourPlot
命令的基本格式为
ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]
例如,输入
ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]
则输出函数的等高线图. 该命令的选项比较多(详细的内容参见光盘中的实验案
例库). 如选项Contours->15表示作15条等高线, 选项Contours->{0}表示只作函数值为0的
等高线.

实验举例

求多元函数的偏导数与全微分
例1.1 设求
输入
Clear[z];
z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;
D[z,x]
D[z,y]
D[z,{x,2}]
D[z,x,y]

则输出所求结果.
例1.2 设其中a是常数, 求dz.
输入
Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;
wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify
则输出结果:
(a+xy)-1+y(y2Dt[x,Constants->{a}]+
Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))
其中Dt[x,Constants->{a}]就是dx, Dt[y,Constants->{a}]就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们
换掉. 输入
wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}]->dy}
输出为
(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy]))
例1.3 设,求
输入
eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}]
(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)
eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}]
(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)
Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],
D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify
(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)
则输出

其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u对x的偏导数, 而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v
对x的偏导数. 类似地可求得u,v对y的偏导数.

微分学的几何应用
例1.4 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切
平面作在同一图形里.
输入
Clear[k,z];
k[x_,y_]=4/(x^2+y^2+1);
(*定义函数k(x,y)*)
kx=D[k[x,y],x]/.{x->1/4,y->1/2};
(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)
ky=D[k[x,y],y]/.{x->1/4,y->1/2};
(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)
z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4,1/2];
(*定义在指定点的切平面函数*)
再输入
qm=Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotRange->{0,4},
BoxRatios->{1,1,1},PlotPoints->30,
DisplayFunction->Identity];
qpm=Plot3D[z,{x,-2,2},{y,-2,2},
DisplayFunction->Identity];
Show[qm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction]
则输出所求曲面与切平面的图形.

多元函数的极值
例1.5 求的极值.
输入
Clear[f];
f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x;
fx=D[f[x,y],x]
fy=D[f[x,y],y]
critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]
则分别输出所求偏导数和驻点:

{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}
再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令
fxx=D[f[x,y],{x,2}];
fyy=D[f[x,y],{y,2}];
fxy=D[f[x,y],x,y];
disc=fxx*fyy-fxy^2
输出为判别式函数的形式:
(6+6x)(6-6y)
再输入
data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;
TableForm[data,TableHeadings->{None,{ "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "}}]
最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.
X y fxx disc f
-3 0 -12 -72 27
-3 2 -12 72 31
1 0 12 72 -5
1 2 12 -72 -1
易见,当时判别式disc=72, 函数有极大值31;
当时判别式disc=72, 函数有极小值-5;
当和时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.
最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入
d2={x,y}/.critpts;
g4=ListPlot[d2,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity];
g5=ContourPlot[f[x,y],{x,-5,3},{y,-3,5},Contours->40,PlotPoints->60,
ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,
AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];
Show[g4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction]
则输出图1-1.

图1-1

从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在非极值点附近, 等高线不
封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.
注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum来求一元函数的极值, 实际上,也可
以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令
FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]
则输出
{-5.,{x->1.,y->-2.36603×10-8}}
从中看到在的附近函数有极小值-5, 但y的精度不够好.

梯度场
例1.6 设作出的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf
的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.
输入调用作向量场图形的软件包命令
<m
再输入
Clear[f];
f[x_,y_]=x*Exp[-x^2-y^2];
dgx=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->60, Contours->25,
ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->{0,0}]
td=PlotGradientField[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Frame->False]
Show[dgx,td]
输出为图1-2. 从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的
方向是指向函数值增大的方向.

图1-2

实验习题
1.设求
2.设求
3.设求
4.试用例1.5的方法求的极值.
5.求在条件下的极值.
6.作出函数的等高线和梯度线的图形, 并观察梯度线与等高线的
关系.

实验2 多元函数积分（基础实验）

实验目的
掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的
概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.

基本命令
1. 计算重积分的命令lntegrate和NIntegrate
例如,计算, 输入
Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]
则输出
又如,计算的近似值, 输入
NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}]
则输出 0.160839

注: Integrate命令先对后边的变量积分.
计算三重积分时,命令Integrate的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用
Mathematica计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限.
2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D
使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入
<3D
使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入
<40]
则在球面坐标系中作出了该球面的图形.
4. 向量的内积
用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入
vecl={al,bl,cl}
vec2={a2,b2,c2}
则定义了两个三维向量, 再输入
vec1. vec2
则得到它们的内积
a1a2+b1b2+c1c2

实验举例

计算重积分
例2.1 计算 其中为由 所围成的有界区域.先作
出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此,输入
Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}]
则输出所求二重积分的计算结果

例2.2 计算 其中为
如果用直角坐标计算, 输入
Clear[f,r];
f[x,y]=Exp[-(x^2+y^2)];
Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]
则输出为

其中Erf是误差函数. 显然积分遇到了困难.
如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入
Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}]
则输出所求二重积分的计算结果

如果输入
NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}]
则输出积分的近似值
1.98587
例2.3 计算, 其中由曲面与围成.
先作出区域的图形. 输入
gl=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],
Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th], Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}]
g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}]
Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]
则分别输出三个图形.
考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入
g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;
Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]},
{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}]
执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.
现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入
Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r, {r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]
则输出

如果用球面坐标计算,输入
Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],
z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]
则输出

这与柱面坐标的结果相同.

重积分的应用
例2.4 求旋转抛物面在平面上部的面积
先调用软件包, 输入
<Sqrt[D[z,x]^2+D[z,y]^2+1]
输出为, 因此,利用极坐标计算. 再输入
z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}];
Integrate[z1*r,{t,0,2 Pi},{r,0,2}]//Simplify
则输出所求曲面的面积

计算曲线积分
例2.5 求 , 其中积分路径为
:
注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分,输入
Clear[x,y,z];
luj={t,t^2,3t^2};
D[luj,t]
则输出对的导数

再输入
ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];
Integrate[(Sqrt[1+30 x^2+10y]/.{x->t, y->t^2,z->3t^2})*ds,{t,0,2}]
则输出所求曲线积分的结果:
326/3.
例2.6 求, 其中
输入
vecf={x*y^6,3x*(x*y^5+2)};
vecr={2*Cos[t],Sin[t]};
Integrate[(vecf.D[vecr,t])/.{x->2Cos[t],y->Sin[t]}, {t,0,2 Pi}]
则输出所求积分的结果
12

计算曲面积分
例2.7 计算曲面积分, 其中为锥面被柱面
所截得的有限部分.
注意到,面积微元, 投影曲线的极坐标方程为

将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.
输入
Clear[f,g,r,t];
f[x_,y_,z_]=x*y+y*z+z*x;
g[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2];
mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify;
Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{x->r*Cos[t],
y->r* Sin[t]})*r,{t,Pi/2,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]
则输出所求曲面积分的计算结果

实验习题
1. 计算
2. 计算下列积分的近似值:
(1) (2)
3. 计算下列积分
(1) (2)
4. 交换积分次序并计算下列积分
(1) . (2)
5. 用极坐标计算下列积分:
(1) (2)
6. 用适当方法计算下列积分:

(1) 其中是由与围成;
(2)其中是
7. 求的近似值. 其中,路径
:,
8. 求, 其中
9. 用柱面坐标作图命令作出被柱面所围部分的图形,并求出其面积.
10. 求曲面积分其中为球面的下半部分的下侧.
11. 求曲面积分,其中为球面上的部分.

实验3 最小二乘拟合（基础实验）

实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择
恰当的曲线拟合该数表.

最小二乘拟合原理
给定平面上的一组点

寻求一条曲线使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.
最小二乘拟合的原理是, 求使

达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式

其中称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将的表达式
代入, 对变量求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由个方程组成的方程组, 从中
可解出

基本命令
1.求数据的拟合函数的命令Fit
拟合函数Fit[ ]的基本格式为
Fit[data,funs,vars],
其中,data是数据, vars为变量(可以是多个变量), funs为个以vars为变量的基底函数. 其
输出结果是以基底函数(funs)的线性组合形式为拟合函数的最佳拟合函数(最小二乘估计的
结果). Fit命令既可以作曲线拟合, 也可以作曲面拟合. 这里只讨论曲线拟合问题.
曲线拟合时的数据格式为

下面是作曲线拟合时常用的几种拟合函数的形式
Fit[data,{1,x},x] 用线性函数拟合数据data.
Fit[data,{1,x,x^2},x] 用二次函数拟合数据data.
Fit[data,Table[x^i,Table[x^i,{i,0,n}],x] 用x的n次多项式拟合数据data.
2.多项式拟合函数PolynomialFit
Mathematica在程序包NumericalMath中提供了多项式拟合函数PolynomialFit, 其基本格
式为
PolynomialFit[data,n]
它按最小二乘法构造n次多项式函数拟合数据data. 例如,输入
<mialFit[{1,4,9,16,25,36,49},3]
则输出
FittingPolynomial[< >, 3]
这里虽然没有给出拟合多项式的解析表达式, 但在计算机中已经存在. 因此可以用来计算函
数的近似值. 输入
p[10] (*计算的近似值*)
就得到函数的近似值100. 如果要拟合多项式的解析表达式, 输入
Expand[p[x]]
则输出

3.去掉矩阵中非数值列的命令DropNonNumericColumn
如果矩阵M中有非数值的列, 可先输入调用软件包命令
<ropNonNumericColumn[M]
则在输出的矩阵中已经把含有非数值的列去掉.
4.在Mathematica 中作曲线拟合的一般步骤
在Mathematica 中作曲线拟合, 可按以下步骤进行:
(1)用ListPlot[数据]作散点图, 观察曲线的分布形状, 确定基底函数;
(2)用Fit[ ]命令求拟合函数;
(3)用Plot[ ]命令作拟合曲线图;
(4)最后用Show[ ]命令把散点图与拟合曲线图放在同一坐标系内, 观察拟合效果.

实验举例

曲线拟合
例3.1 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响, 测得数据如下:
x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
试求其拟合曲线.
输入点的坐标, 作散点图, 即输入
b2={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},
{150,70},{160,74},{170,78},{180,85},{190,89}};
fp=ListPlot[b2]
则输出题设数据的散点图.
通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入
Fit[b2,{1,x},x] (*用Fit作拟合, 这里是线性拟合*)
则输出拟合直线
-2.73939+0.48303x
作图观察拟合效果. 输入
gp=Plot[%,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},
DisplayFunction->Identity]; (*作拟合曲线的图形*)
Show[fp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction]
(*显示数据点与拟合曲线*)
则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3-1）.

图3-1

例3.2 给定平面上点的坐标如下表:

试求其拟合曲线.
输入
data={{0.1,5.1234},{0.2,5.3057},{0.3,5.5687},{0.4, 5.9378},{0.5,6.4337},
{0.6,7.0978},{0.7,7.9493},{0.8,9.0253},{0.9,10.3627}};
pd=ListPlot[data];
则输出题设数据的散点图.
观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输入
f=Fit[data,{1,x,x^2},x]
则输出
5.30661-1.83196x+8.17149x2
再输入
fd=Plot[f,{x,0,1},DisplayFunction>Identity];
Show[pd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction]
则输出平面上的点与拟合抛物线的图形.

图3-2

下面的例子说明Fit的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于等.
例3.3 使用初等函数的组合进行拟合的例子.
先计算一个数表. 输入
ft=Table[N[1+2Exp[-x/3]],{x,10}]
则输出
{2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775,
1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135}
然后用基函数来做曲线拟合. 输入
Fit[ft,{1,Sin[x],Exp[-x/3],Exp[-x]},x]
则输出拟合函数

其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入
Chop[%]
则输出

实际上,我们正是用这个函数做的数表.
注:命令Chop的基本格式为
Chop[expr,]
其含义是去掉表达式expr的系数中绝对值小于的项,的默认值为.

实验4 水箱的流量问题（综合实验）

实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察
测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.

问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1
E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L)).
某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水
单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱
水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H为止. 但是依然
无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水
泵一天灌水1~2次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量
并估计一天的总用水量.
表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水
位落到27E以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.

表1
时间/s
水位E
时间/s
水位E
0
3316
6635
10619
13937
17921
21240
25223
28543
32284
35932
39332
39435
43318
3175
3110
3054
2994
2947
2892
2850
2795
2752
2697
泵水
泵水
3550
3445
46636
49953
53936
57254
60574
64554
68535
71854
75021
79254
82649
85968
89953
93270
3350
3260
3167
3087
3012
2927
2842
2767
2697
泵水
泵水
3475
3397
3340

模型假设
(1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;
(2) 水泵的灌水速度为常数;
(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水
箱中的水用尽, 这是显然的要求;
(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,
可以认为每天的用水量分布都是相似的;
(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.

问题分析与模型建立
为方便起见,记V表示水的容积;表示时刻 (单位:h)水的容积;表示流出水箱的
水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(G/h)
先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(单
位: ). 输入
tt={0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,
39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,
71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270}/3600//N
vv=Pi*(57/2)^2*{3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,

no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,
2697,no_data,no_data,3475,3397,3340}*10^(-2)*7.481/10^3//N
则输出下表.

表2
时间/h
水量/G
时间/h
水量/G
0.
0.921111
1.84306
2.94972
3.87139
4.97806
5.9
7.00639
7.92861
8.96778
9.98111
10.9256
10.9542
12.0328
606.098
593.69
583.
571.546
562.574
552.074
544.057
533.557
525.349
514.849
no_data
no_data
677.685
657.64
12.9544
13.87558
14.9822
15.9039
16.8261
17.9317
19.0375
19.9594
20.8392
22.015
22.9581
23.88
24.9869
25.9083
639.505
622.324
604.571
598.299
574.982
558.756
542.529
528.212
514.849
no_data
no_data
663.367
648.477
637.593

由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点
及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度.
平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度
输入
tt1=Table[(tt[[i+1]]+tt[[i]])/2,{i,27}]
vv1=Table[(vv[[i]]-vv[[i+1]])/(tt[[i+1]]-tt[[i]]),{i,27}]
则输出下表

表3
时间区间的中点值/h
平均水流量/G/h
时间区间的中点值/h
平均水流量/G/h
0.460556
1.38208
2.39639
3.41056
4.42472
5.43903
6.45319
7.4675
8.44819
9.47444
10.4533
10.9399
11.4935
12.4936
13.471
11.5953
10.3498
9.73471
9.48735
8.69649
9.48974
8.90086
10.1036
no_data
no_data
no_data
18.5833
19.6766
13.4151
14.429
15.4431
16.365
17.3789
18.4846
19.4985
20.3993
21.4271
22.4865
23.419
24.4335
25.4476
18.6466
16.0463
16.5697
15.5248
14.677
14.6733
15.5294
15.1898
no_data
no_data
no_data
13.4514
11.8095

为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令
<Transpose[DropNonNumericColumn[{tt1,vv1*10^3}]]
(*命令中vv1*10^3,使平均水流量vv1的单位变为G/h*)
g1=ListPlot[L]
则输出图4-1

图4-1

图中空白区域为泵水时间. 从中可以看出数据分布不均匀. 我们采用8阶多项式进行拟
合. 输入
ft=Fit[L,Table[t^i,{i,0,8}],t]
则输出

这就是流出水箱的水的流速关于时间t的函数. 为作出其拟合曲线图, 输入
fg=Plot[ft,{t,0,26},DisplayFunction->Identity];
Show[g1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction]
则输出图4-2.

图4-2

求解结果
将h和h代入到水的流速拟合函数我们得到这两时刻的
流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为能近似表达
一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数在24小时周期内的积分.
输入
Integrate[ft,{t,0.46,24.46}]
则输出
336013.G
若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.

模型评价
该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模
型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌
水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.

实验报告
某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高,
预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.

为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,
销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入4万元的广告费, 销售增长因
子为1.95. 即销售量将是预期销售量的