2018届高三数学文参数方程加强.docx

2018届高三数学文一轮复习专题突破训练--参数方程加强1
1．[2017全国高考1卷]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

（2017理数国卷1）
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

（2017理数国卷2）
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,
求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

4、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （ 为参数， ）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.

5：在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．

6.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．

（2017理数国卷3）
22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设，M为与C的交点，求M的极径．
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的轨迹方程为；
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是．

1.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．
解：（Ⅰ）由得．
∵,,,
∴曲线的直角坐标方程为,即. ……………4分
（Ⅱ）将代入圆的方程得,
化简得． …5分
设两点对应的参数分别为、,则 …6分
∴． ……………8分
∴,,或． ……………10分
9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；
（2）设直线与曲线C交于A,B两点，求.
9、（1）对于C：由 ……2分
对于 有 ……4分
（2）设A,B两点对应的参数分别为
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程
得
化简得 ……6分
……10分
题目3：以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．
选题理由（训练目的）：
倾斜角未知的直线参数方程化为普通方程，简单曲线的极坐标方程化为普通方程
直线与曲线相交求弦长的通用解决方法
解题思路分析：
（1）直接消去直线l的参数可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程；设出A，B两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可．
解答过程和评分标准：解：（1）直线l的参数方程为消去参数可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0； ---------------2分
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ． --------------3分
--------------4分
那么：x2=8y． --------------5分
∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y．
（2） 直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；
------------6分
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则，． --------------8分
∴|AB|=|t1﹣t2|==． --------------9分
当φ=时，|AB|取得最小值为8． -------------10分

2018届高三数学文一轮复习专题突破训练--参数方程加强1
1．[2017全国高考1卷]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
【解析】（1）当时， （t为参数）
L消参后的方程为，
曲线C消参后为，与直线联方方程
解得 或 .
（2）L的普通方程为，
设曲线C上任一点为，
点到直线的距离公式，，
，
，
，
当时最大，
即，
，
当时最大，
即，
，
综上：或.
（2017理数国卷1）
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
【考点】：参数方程。
【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。
【解析】：
将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为
（1）当时，代入可得直线为，联立曲线方程可得：
，解得或，故而交点为或
（2）点到直线的距离为
，即：，
化简可得，
根据辅助角公式可得，又，
解得或者。
（2017理数国卷2）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,
求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
【解析】

（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积

当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （ 为参数， ）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.
6、（Ⅰ）由，得，
化成直角坐标方程，得，即直线的方程为.
依题意，设，则
到直线的距离 ，
当，即时，.
故点到直线 的距离的最小值为.
（Ⅱ）曲线上的所有点均在直线的右下方，
对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
，又，解得，
故的取值范围为.
题目1：在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．

选题理由（训练目的）：
直线l的极坐标方程为是特殊的极坐标方程，表示此直线过原点，且倾斜角为．此题考查同一直线与曲线有两交点的情况，利用极坐标的几何特点和的几何含义，求两交点间的距离
解题思路分析：（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．

解答过程和评分标准：
解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=7，
曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3=0， -----------2分
直线l的直角坐标方程为y=x． -----------4分
（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16， -----------5分
由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），
则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3=0，即ρ12﹣2ρ1﹣3=0，得ρ1=3或ρ1=﹣1（舍）， --------6分
ρ2=8cos=4，则丨AB丨=丨ρ1﹣ρ2丨=1， ---------7分
C2（4，0）到l的距离为d==2． -----------8分
以AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2． ----------9分
则△PAB的面积的最大值为×1×（4+2）=2+．　 ---------10分

第二问另解：
求以AB为底边的△PAB的高的最大值可用比较通用的方法---参数法。
过程如下：由题意设A（ρ1，），B（ρ2，）， -----------5分
则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3=0，即ρ12﹣2ρ1﹣3=0，得ρ1=3或ρ1=﹣1（舍）， --------6分
ρ2=8cos=4，则丨AB丨=丨ρ1﹣ρ2丨=1， ----------7分
曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，
曲线C2的参数方程为 ----------8分
可设点P的坐标为，
点P到直线l的距离为
当时， ---------9分
则△PAB的面积的最大值为×1×（4+2）=2+．　 ---------10分

（2017理数国卷3）
22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设，M为与C的交点，求M的极径．
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的轨迹方程为；
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是．

1.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．
解：（Ⅰ）由得．
∵,,,
∴曲线的直角坐标方程为,即. ……………4分
（Ⅱ）将代入圆的方程得,
化简得． …5分
设两点对应的参数分别为、,则 …6分
∴． ……………8分
∴,,或． ……………10分
9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；
（2）设直线与曲线C交于A,B两点，求.
9、（1）对于C：由 ……2分
对于 有 ……4分
（2）设A,B两点对应的参数分别为
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程
得
化简得 ……6分
……10分
题目3：以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．
选题理由（训练目的）：
倾斜角未知的直线参数方程化为普通方程，简单曲线的极坐标方程化为普通方程
直线与曲线相交求弦长的通用解决方法
解题思路分析：
（1）直接消去直线l的参数可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程；设出A，B两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可．
解答过程和评分标准：解：（1）直线l的参数方程为消去参数可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；
即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0； ---------------2分
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ． --------------3分
--------------4分
那么：x2=8y． --------------5分
∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y．
（3） 直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；
------------6分
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则，． --------------8分
∴|AB|=|t1﹣t2|==． --------------9分
当φ=时，|AB|取得最小值为8． -------------10分