勾股定理知识点与常见题型总结-马心茹.doc

勾股定理复习
一．知识归纳
１．勾股定理
内容：
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
2.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于 ，对于
和 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
3.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则c= ，b= ，c=
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
4.勾股定理的逆定理
　如果三角形三边长，，满足 ，那么 ，其中 为斜边
　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
5.勾股数
　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度， ； ； ； ; 等

③用含字母的代数式表示组勾股数：
　（为正整数）；
　　（为正整数）
（，为正整数）
6．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
7．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
8.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
常见图形：

题型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
　⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
分析：直接应用勾股定理

题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
⑴在中，，，，于，＝　　　　
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为则这个三角形的面积为　　　　　
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
例３.如图中，，，，，求的长

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①　　②，，

例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：

八年级上册第一章勾股定理测试题
一、选择题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.
2、适合下列条件的△ABC中, 是直角三角形的个数为 ( )
①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;
④⑤ A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
3、已知直角三角形两直角边的长为A和B，则该直角三角形的斜边的长度为（　　）
A、A＋B　　　 B、　　　 C、　　　 D、
4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A、6厘米 B、8厘米 C、厘米 D、厘米
5、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )
A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm2
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6、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面
成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米

7、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为 （ ）
A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm
8、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（ ）
第9题
A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米） C. 25英寸（64厘米） D.21英寸（54厘米）
9、一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为( )A．60 　　B．30 　　C．24 　　D．12
10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm 　 　B．10cm 　 　 C．12cm 　　 D．14cm
11、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则Rt△ABC的面积为（　　）．
北
南
A
东
第12题图
A.24cm2　　　 B.36cm2　　　　C.48cm2　　　　D.60cm2
12、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
二、填空题
13、在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝ ．

14、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶ b＝3∶4，则SRt△AB＝　　　．
15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米
16、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m。（精确到0.1m，可能用到的数据，）。
17、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。

13m
5m
(18题)
15题
16题
18、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m．
[

三、解答题
19、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

20、一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
这个梯子顶端离地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

21、如图：A、B两点与建筑物底部D在一直线上，从建筑物顶部C点测得A、B两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20，求建筑物CD的高。

22、如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

23、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

24如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

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