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北 京 四 中
年 级：初 二 科 目：数 学 期数：0101
编稿老师：史卫红 审稿老师：史卫红 录入：申容
第八章 因式分解（一）提取公因式法
一、 全章教学内容及要求：
节次
知识要点
教学要求
因式分解
因式分解概念
B
8.1 提取公因式法
（1）公因式概念
（2）提取公因式法的依据
（3）用提公因式法因式分解
B
B
D
8.2 运用公式法
（1）因式分解的五个公式
（2）运用公式法因式分解
C
D
8.3 分组分解法
（1）分组后能直接提公因式
（2）分组后能直接运用公式
D

D
8.4 十字相乘法
（1）可化为x2+(a+b)x+ab型的二次三项式的因式分解
（2）用十字相乘法分解二次三项式
（3）因式分解的一般步骤
D

C

D
二、重点、难点、关键
1、重点：因式分解的四种基本方法。
2、难点：根据不同的题目，进行具体分析灵活地综合运用各种方法分解因式。
3、掌握因式分解的各种方法的特点，是熟练地分解因式的关键。
正确理解因式分解的意义是学好因式分解的前提，在本章学习中同时应掌握因式分解的一些应用。
4、多项式的因式分解是代数式中重要内容之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，多项式的因式分解的目的是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。它们虽然都是恒等变形，但是目的不同。
5、因式分解将在今后学习的分式运算，解方程和方程组时得到直接应用，在代数式和三角函数式的恒等变形时也经常用到，本章内容起到了承上启下的作用，因此对本章内容应给予足够的重视。
三、学习指导：
1、因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，就叫做多项式的因式分解。这里特别要注意的是积的形式与整式积的形式，认真理解好这个概念对学好因式分解是十分重要的。理解因式分解的意义，可以对比小学数学里的因数分解。
几个整式相乘，每个整式都叫做它们的积的因式。例如a(b+c)= ab+ac，整式a和整式b+c都是它们积的因式，显然，整式ab+ac可化为两个整式的积的形式，就是ab+ac=a(b+c)，这就是因式分解。
2、因式分解应注意的几个问题：
（1）因式分解和整式乘法的过程是相反的，但因式分解不是一种运算，而是一种恒等变形。
（2）变形后的代数式必须是几个整式的积的形式，整式可以是单项式，也可是多项式。如2x2-3x+1=(2x3-3x2+x)，因为不是整式，所以这个变形后的式子虽为乘积式，但不是因式分解。又如a(b+c)=ab+ac，不是因式分解，它是多项式的乘法。
（3）进行因式分解时要象小学里分解质因数一样，要分解到不能分解为止。如x4-y4=(x2-y2)(x2+y2)为没有分解到底，其中x2-y2还可以分解为(x-y)(x+y)。
（4）相同因式要写成幂的形式。如a3(a-2)-8a+16分解因式应为：(a-2)(a-2)(a2+2a+4)=(a-2)2(a2+2a+4)，其中的(a-2)(a-2)应写成(a-2)2。
（5）分解范围：
本章所说的因式分解都是在有理数范围进行的，要求因式中系数都为有理数。
今后的学习中因式分解的范围可继续扩充，若没有特别说明，范围就指有理数范围，若有说明可按指定范围进行分解。如：4a4-9b4=(2a23b2)(2a2-3b2)（有理数范围），4a4-9b4=(2a2+3b2)(2a2-3b2)=(2a2+3b2)(a+b)(a-b)（实数范围）。
四、技能要求：
1、掌握因式分解的概念，并能严格按照概念因式分解。
2、掌握提公因式分解因式的基本方法（字母的指数是数字）。掌握运用公式分解因式的基本方法，（直接用公式不超过两次），会用这两种方法因式分解。
3、掌握分组分解法的原则，合理选择分组的方法，会用这种方法因式分解。
4、掌握运用十字相乘法分解因式的基本方法。（二次项系数与常数项的积为绝对值不大于60的整系数的二次三项式），会用这种方法因式分解
5、掌握多项式因式分解的一般步骤及因式分解结果的一般要求。

五、重要数学思想：
在因式分解时，对于比较复杂的因式分解问题要能够通过变形整理使之转化为所熟悉的因式分解的基本形式，或把某一部分式子看作一个整体，以适用某种基本方法，从而了解等价转化的思想和方法。
六、主要数学能力：
1、在因式分解时要能够认真分析多项式的结构特征，掌握正确的思维程序，灵活应用基本方法，寻求合理，简捷的因式分解途径，培养观察，思维和运算能力。
2、要善于从不同角度观察分析题目，尽量采用多种方法对一题目进行因式分解，并善于从多种解法中选出最佳的方法，提高发散思维能力。

3、因式分解与整式乘法互为逆运算，在探索因式分解的各种方法的过程中，培养逆向思维的能力。
七、因式分解的基本方法（一）提取公因式法
1、提取公因式法的特点是：如果一个多项式各项中都有一个相同的因式，即公因式，那么这个多项式就可以分解成公因式与另一个多项的乘积。即：ma+mb+ma=m(a+b+c)。它的根据是乘法对加法的分配律：m(a+b+c)=ma+mb+ma。
2、掌握提取公因式法的关键是准确地找出多项式中各项的公因式（实际上是最高公因式）。找法一般是系数为整数时，提各项系数绝对值的最大公约数，各项相同字母取最低次幂，将之相乘，即得最高公因式。当首项是负数时连同负号一块提出来。另外要准确求出剩余因式，剩余因式是将原多项式的每一项去除以公因式所得的商的代数和。项数与原多项式项数相同。
3、例题分析：
例1、把-9x2+3x-18分解因式。
分析：多项式的第一项系数是负的，且各项系数绝对值有公因数3，所以应提取-3，剩余因式是：++=3x2-x+6。
解：-9x2+3x-18
=-3(3x2-x+6)
例2、把-12x3y3z3-18x3y2z4+24x2y4z3-6x2y2z3分解因式。
分析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数绝对值的最大公约数为6，且相同字母最低次的项是x2y2z3，公因式为-6x2y2z3，剩余因式为：
=2xy+3xz-4y2+1。
解：-12x3y3z3-18x3y2z4+24x2y4z3-6x2y2z3
=-6x2y2z3(2xy+3xz-4y2+1)
注：（1）在运算剩余因式的各项时注意符号的确定。（2）提出的公因式恰好是多项式的第四项，在括号里的第四项要用“1”来顶位。
例3、把a(x-2)2-(2-x)3b分解因式。
分析：这个多项式由两大项组成，即a(x-2)2和-(2-x)3b，这两项现没有公因式，若将-(2-x)3b提出一个负号后就变成为+(x-2)3b，这两项就有公因式(x-2)2，剩余因式为=a+b(x-2)。
解：a(x-2)2-(2-x)3b
=a(x-2)2+(x-2)3b
=(x-2)2[a+b(x-2)]
=(x-2)2(a+bx-2b)
注：（1）本题的解答过程中注意到了(2-x)3=-(x-2)3，但要避免发生2-x=x-2或(2-x)2=-(x-2)2这样的错误。（2）在因式分解中经常要用到以下变形：
(x-y)n= (y-x)n （当n为偶数时）
-(y-x)n （当n为奇数时）
（3）剩余因式b(x-2)项最后要作乘法运算。
例4、把(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)分解因式。
分析：在这个问题中，y-x和x-y都可以作为公因式，但应尽量避免负号过多的情况出现，可提取y-x，最后再变形为x-y。剩余因式要合并同类项。
解：(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
=(x-y)(a-b)
注：（1）提取公因式(y-x)后剩余因式c-b-a+2a+b-c+b-2a要进行合并同类项的运算。（2）由(y-x)(b-a)同时改变两个因式的符号时，值不变。即(y-x)(b-a)=(x-y)(a-b)。
例5、把(x+y-z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z)因式分解。
分析：只要将第二项中的(y-x-z)提取一个负号变形为：y-x-z=-(x-y+z)就有公因式(x-y+z)了。
解：(x+y-z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z)
=(x+y-z)(x-y+z)-(y-x+z)(x-y+z)
=(x-y+z)[(x+y-z)-(y-x+z)]
=(x-y+z)(x+y-z-y+x-z)
=(x-y+z)(2x-2z)
=2(x-y+z)(x-z)
注：剩余因式合并同类项后为2x-2z，再将2x-2z的公因式2提出来，这个数字因式应写在字母因式前面。
例6、把(b-a)4+a(a-b)3+b(b-a)3分解因式。
分析：多项式由三大项组成，而(b-a)4，a(a-b)3和b(b-a)3，将(b-a)4变形为(a-b)4，b(b-a)3变形为-b(a-b)3就有公因式(a-b)3了。
解：(b-a)4+a(a-b)3+b(b-a)3
=(a-b)4+a(a-b)3-b(a-b)3
=(a-b)3[(a-b)+a-b]
=(a-b)3(2a-2b)
=2(a-b)3(a-b)
=2(a-b)4
注：当分解的结果中有两个相同因式（如本例中的a-b）时，应写成幂的形式。本题中2(a-b)3(a-b)=2(a-b)4。
例7、计算，(1)5×34+24×33+63×32
(2)58.63×199.9+586.3×98.11-5.863×1810
解：(1)5×34+24×33+63×32
=5×34+8×34+7×34
=34(5+8+7)
=81×20
=1620
分析：(1)24×33=8×3×33=8×34, 63×32=7×32×32=7×34.
（2）利用提取公因式法将34提出来使计算得到简化，达到巧算的目的。
(2)58.63×199.9+586.3×98.11-5.863×1810
=58.63×199.9+58.63×981.1-58.63×181
=58.63(199.9+981.1-181)
=58.63×1000
=58630

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