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实变函数论实变函数论 主讲人：魏勇2.3 可测集的结构第二章 可测集与可测函数http:/210.41.192.165/jp/sbhsl/index1.htm定理2.3.1：若 =0，则E可测即E为可测集。注意:并不需要逐一列举所有集T推论2.3.1 可数集为可测集。定理.3.2：区间 是可测集，且证明：取5)Borel型集（从开集出发通过取余，取至多可数 次交或并运算得到的集合）是可测集。1)可数集（有理数、代数数、自然数、整数、奇 数、偶数，3的整倍数）、余集可数的集（无理 数、超越数、非整数）。4)型集(至多可数个闭集的并 ）是可测集。3)型集(至多可数个开集的交 ）是可测集。推论
2、2.3.1-2.3.32)区间、开集、闭集、完备集、P0、G0都是可测集。1)开集、闭集既是 G型集也是F型集；2)有理数集是F型集 ,无理数集是 型集 3)G型集和F型集都是Borel集（显然）可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是F集通过取余将 G型集与 F型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）得开集也既是G型集又是F型集证明1):当F为闭集时 ,所以F为F集 无理数集通过有理数集取余是G集 (a)先假定mE(2)”因为E可测，所以Ec可测,由(1)知取闭集定理.3.4：（从里面接近）闭集接近，相差任意小的正测度F集接近，相差0测度THANK YOUSUCCESS2024/3/6 周三10可编辑“(2)=(3)”,对任意的1/n，“(3)=(1)”证明：只证“(1)=(2)”:因为E可测，定理.3.5：由定理.3.3知:由定理.3.4知:=0=0=0=0=0=0里外接近l可测集的笛卡尔积仍然是可测集l可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)l可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)l可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)l可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)l存在不可测集（见附录）l存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：实变函数周民强,p87THANK YOUSUCCESS2024/3/6 周三19可编辑
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