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第十二章 群决策与社会选择
Group Decision-making and Social Choice Theory
主要参考文献 56，118，169，185

§12-1概述
一、为什么要研究群决策
A. 在现实生活中
●任何决策会影响一群人,因此在公正、民主的社会中, 重大的决策应尽量满足受该决 策影响的群众的愿望和要求. 群众通过代表反映愿望和要求,代表们构成各种委员会.
●行政机构中的领导班子
●社会发展→信息和知识的积累及更新速度加快,领导个人难以在掌和应付→智囊团和咨询机构应运而生并广泛存在,作用加强.
委员会、代表大会、议会、协会、俱乐部, 领导班子、组织, 智囊团等等都是群,群中的成员各有偏好, 要形成集体意见需要研究群决策和社会选择理论.
B. 世界上矛盾无处不在, 人与人、组织与组织、国与国之间的矛盾如何解决,如何避免冲突升级,需要研究协商、谈判、仲裁、调解、合作对策等冲突分析方法, 因而冲突分析也是群决策的主要研究内容.

二、分类
涉及内容及解决办法

投票表决
社会选择 社会选择函数
社会福利函数
委员会
激发创造性
集 专家判断 采集意见
体 和 系统结构的探索
决 群体参与 仿真
策 Team theory 实施与管理
群 一般均衡理论 递阶优化
决 组织机构决策 组织决策
策 管理
｜ 正规型
多 一般对策论 扩展型
人 特征函数
决 Nash
策 冲 协商与谈判 K-S
突 Mid-mid
分 均衡增量
析 主从对策与激励 强制仲裁
仲裁与调解 最终报价仲裁
亚对策论 组合仲裁

三、社会选择的定义与方式
1. 定义: ( Luce & Raiffa )
社会选择就是根据社会中各成员的价值观及其对不同方案的选择产生社会的决策;即把社会中各成员对各种状况的偏好序集结成为单一的社会偏好模式…
2. 社会选择的常用方式:
惯例、常规、宗教法规、职权、独裁者的命令、投票表决和市场机制.
其中:
● 投票: 少数服从多数, 大多用于解决政治问题;
● 市场机制:本质是用货币投票, 大多用于经济决策;
● 独裁: 根据个人意志进行(取代)社会选择;
● 传统:以惯例、常规、宗教法规等代替社会中各成员的意志.
传统到独裁的演变 : 传统(无论惯例、常规还是宗教法规)在开始时是社会上大部分公民或成员认可的规则(以及规定、法规), 随着社会的发展, 总有新的问题、新情况是原来的规则(以及规定、法规)所无法解决的,解决这些新的问题、新情况的新规则就要由社会上比较有威望的某些人制订, 这些人在解决新问题、新情况时就代替整个社会进行了选择. 只要这些人不是以民主方式选举产生的, 他们的权力就会逐渐增大, 成为代替社会进行决策的小团体. 这个小团体中最强有力的人物最终也就有可能成为独裁者.

§12.2 投票表决(选举)(Voting)
投票表决可分成两步: 1.投票,应简单易行
2. 计票,应准确有效
一、非排序式投票表决(Non-ranked Voting Systems)
(一)只有一人当选
1. 候选人只有两个时: 计点制(Spot vote)
投票: 每人一票;计票: 简单多数票(simple plurality)法则(即相对多数).
2. 候选人多于两个时
① 简单多数(相对多数)
②过半数规则(绝对多数Majority) 第一次投票无人获得过半数选票时,
a.二次投票,如法国总统选举.
b. 反复投票: i.候选人自动退出,如美国两党派的总统候选人提名竞选;
ii. 得票最少的候选人的强制淘汰,如奥运会申办城市的确定.
例12. 1 由11个成员组成的群, 要在a、b、c、d 四个候选人中选举一人.设各成员心目 中的偏好序如下:
成员 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
排序 第一位 a a a b b b b c c c d
第二位 c c c a a a a a a a a
第三位 d d d c c c c d d d c
第四位 b b b d d d d b b b b
按简单多数票法则, b得4票 当选.
实际上,虽然有4人认为b最好,但是有7人认为b最差;
虽然只有3人认为a最好,但是其余8人认为a是第二位的;
所以,由a当选为宜.
例12. 2 设各成员心目中的偏好序如下:
成员 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
排序 第一位 b b b b b b a a a a a
第二位 a a a a a a c c c d d
第三位 c c c d d d d d d c c
第四位 d d d c c c c b b b b
按简单多数票法则或过半数规则, b得6票当选.
实际上,虽然有6人认为b最好,但是有5人认为b最差; 虽然只有5人认为a最好,但是其余6人认为a是第二位的; 所以,由b当选未必合适.
例12. 3 设各成员心目中的偏好序如下:
成员 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
排序 第一位 b b b c c c c d d a a
第二位 a a a a a a a a a b d
第三位 d c d b b b d c b d c
第四位 c d c d d d b b c c b
按过半数规则, 第一次投票无人获得过半数选票, c、 b得票多,第二投票时,6人认为c比b优, c当选. 而在该问题中没有人认为a处于第二位以下,却有4 人认为 c 最差.
由上面三个例子可知, 无论简单多数票法则、过半数规则 还是二次投票,都有不尽合理之处.
(二). 同时选出二人或多人
1. 单一非转移式 投票表决(Single nontransferable voting)
投票人每人一票, 得票多的候选人当选.
如:日本议员选举采用选区制,每选区当选人数超过2个, 1890年起即用此法.
2. 复式选举(Multiple voting)
每个投票人可投票数=拟选出人数 但对每个候选人只能投一票
弊端: 在激烈的党派竞争中,实力稍强的党派将拥有全部席位.因此该方法只能用于存在共同利益的团体、组织内部, 如党团组织和班干部的选举.
3. 受限的选举(Limited voting)
每个投票人可投票数＜拟选出人数 对每个候选人只能投一票
弊端: 同上. 1868年英国议会选举采用此法, 1885年即取消.
4. 累加式选举(Cumulate voting)
每个投票人可投票数=拟选出人数.这些选票由选举人自由支配,可投同一候选人若干票
利: 可切实保证少数派的利益.
大多用于学校董事会的选举,例:英国 (1870-1902).(注意: 公司董事会的选举与此不同.)
5. 名单制(List system)
由各党派团体开列候选人名单, 投票人每人一票, 投给党团.
此法于1899年用于比利时, 以后被荷兰、丹麦、挪威和瑞典等国采用.
计票分两种: ⑴. 最大均值法; ⑵. 最大余额法
例12. 4 24000人投票,选举5人, A、B、C、D四个党派分别得8700、6800、5200、3300票, 如何分配议席?
(1)最大均值法:
A 党首先分得第一席.第二席分给各党派时, 各党派每一议席的均值如下:
党派 得票 除数 均值(每一议席的得票均值)
A 8700 2 4350
B 6800 1 6800
C 5200 1 5200
D 3300 1 3300
由于B党的均值最大B党得第二席.分第三席时 各党派每一议席的均值如下:
党派 得票 除数 均值
A 8700 2 4350
B 6800 2 3400

C 5200 1 5200
D 3300 1 3300
C 党得第三席, 分第四席时各党派每一议席的均值如下:
党派 得票 除数 均值
A 8700 2 4350
B 6800 2 3400
C 5200 2 2600
D 3300 1 3300
由于A党的均值最大, A党得第四席.分第五席时各党派每一议席的均值如下:
党派 得票 除数 均值
A 8700 3 2900
B 6800 2 3400
C 5200 2 2600
D 3300 1 3300
B党的均值最大B 党得第五席. 最后A B各得2席 , C得1席.
⑵. 最大余额法:
首先计算Q=N/K的值 : Q=24000/5=4800, 用各党派得票数除以Q并计算余数:
党派 得票 除数 分得席位 余额
A 8700 4800 1 3900
B 6800 4800 1 2000
C 5200 4800 1 400
D 3300 4800 0 3300
按每4800票得一席,A、B、C党各得一席, 剩余2席,因为A、D两党的余额大,最后A党得2席, B、C和D党各得一席.
可以证明, 最大均值法对大党有利; 最大余额法对小党有利.
6. 简单可转移式选举(Single nontransferable voting)
常常用于3-6个席位的选区.投票人每人一票. 现况值Q=N/(K+1), 得票数大于Q的候选人人选,得票最少的候选人被淘汰, 由未被淘汰的未当选候选人在下一轮中竞争剩余席位.
仍以例12.4说明. N=24000, K=5, 故Q=N/(K+1)=24000/6=4000, 设各党派候选人的第一次投票得票数为:
候选人: A A A B B C C D
得票数: 4100 4100 500 4100 2700 4050 1150 3300

其中, A,A, B, C第一次投票后可入选, A被淘汰, B, C, D 通过第二次投票 竞争最后一席.这时 Q=24000/2=12000. 支持A 党的可转移投票方向, 他们在让谁入选上有 决定性影响.
7. 认可选举( Approval vote )
每个投票人可投任意张选票, 但他对每个候选人只能投一张票. 得票最多的前K个候选人当选. 如职称评定, 评奖, 评先进等.
(三). 其它投票表决(选举)方法
1. 资格认定
⑴. 候选人数M= 当选人数K 即等额选举, 用于不存在竞争或不允许竞争的场合.
⑵. 不限定入选人数 如学位点评审,职称评定, 评奖等. 目的不是排序.而是按某种标准来衡量被选对象.
2. 非过半数规则
⑴2/3多数, 例美国议会推翻总统否决需要2/3多数.
⑵2/3多数Þ60%多数, 例如希腊议会总统选举,第一次需要2/3多数,第二次要60% 多数.
⑶3/4多数, 美国宪法修正案需要3/4州议会的批准.
⑷过半数支持, 反对票少于1/3. 例如1993年前我国博士生导师的资格认定.
⑸一票否决, 安理会常任理事国的否决权.

二、偏好选举与投票悖论 ( Paradox of voting )
1. 记号 N={ 1, 2,… ,n } 表示群,即投票人的集合;
A={ a, … ,a} 备选方案(候选人)集合;
f , ～ 成员(投票人) i的偏好;
～, f 群的排序.
n 或 N(a f a) 群中认为 a优于a 的成员数
采用上述记号, 过半数规则可以表示为:
对 a,a∈A 若 n＞n 则 a f a; 若 n=n 则 a～ a
2. Borda法( 1770年提出)
由每个投票人对m 个候选人排序, 排在第一位的得m-1分, 排在第二位的得m-2分,…
根据各候选人所得总分多少确定其优劣.
3. Condorcet原则( 1785年提出)
对候选人进行成对比较, 若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人, 则称为Condorcet候选人; 若存在Condorcet候选人,则由其当选.
用上述记号表示,即: 若 n＞n ∨ a∈A\{ a}, 则a当选.
例12. 5 群由60个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是:
23人认为 a fc fb (即a优于c ,c优于b, a也优于b)
19 人认为 b fc fa
16人认为 c fb fa
2人认为 c fa fb
a与b相比 N(a fb)=25, N(b fa)=35 因此有b f a
a与c相比 N(a fc)=23, N(c fa)=37 因此有c f a
b与c相比 N(b fc)=19, N(c fb)=41 因此有c f b
由于候选人c能分别击败a与b, 所以c是Condorcet候选人,由c当选.
但是,常常不存在Condorcet候选人.

4. 多数票循环(投票悖论)
例12. 6 若群中60个成员的态度是:
23人认为 a fb fc
17 人认为 b fc fa
2人认为 b fa fc
8人认为 c fb fa
10人认为 c fa fb
由于 N(a fb)=33, N(b fa)=27 因此有a f b
N(b fc)=42, N(c fa)=18 因此有b f c
N(a fc)=25, N(c fa)=35 因此有c f a
每个成员的偏好是传递的, 但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递,出现多数票循环,这种现象称作 Condorcet效应(也叫投票悖论)
5. 出现 Condorcet效应的概率
成员数N : 3 5 7 11 15 25 ∞
方案数 m= 3 .0556 .0694 .0750 .0798 .082 .0843 .0877
4 .111 .14 .15 .1755
5 .16 .20 .22 .2513
6 .20 .25 .27 .3152
8 .4152
10 A. Gibbard, Manipulation of voting schemes: a general result, 1973,Econometrica (41)91-103.
2 M. A. Satterthweitz, Strategy proofness and Arrew’s conditions , 1975, J. Eco. Theory (10)187-217.

.4887
15 .6087
20 .6811
30 .7914
49 .8405

三、策略性投票(操纵性)
1. 小集团控制群
例: 百人分蛋糕
2. 谎报偏好而获益
例12.7 群由30个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是:
14 认为 a fb fc
4 人认为 b fa fc
4人认为 b fc fa
8人认为 c fb fa
根据Borda法和Condorcet原则,都应由b当选, 但是, 若认为 a fb fc的14人中有8人撒谎, 称他们认为 a fc fb , 则按Borda法, 将由a当选.
3. 程序(议程)问题 例12.6所述问题: 后参加表决的方案获胜.

四、衡量选举方法优劣的标准
①能否充分利用各成员的偏好信息
②若存在Condorcet候选人,应能使其当选.
③能防止策略性投票
§12.3 社会选择函数
一、引言
1. 仍以例12.5 为例:群由60个成员组成, A={ a, b, c }, 群中成员的态度是:
23人认为 a fc fb
19 人认为 b fc fa
16 人认为 c fb fa
2人认为 c fa fb
根据Condorcet原则 c当选
根据简单多数规则 a当选
根据过半数(二次投票)规则 b当选
该例中一共只有三个候选人, 采用不同选举方法时, 这些候选人都有可能当选. 那么这些方法中究竟何者合理?据何判断选举方法的合理性?
2例12.6表明多数票循环不可避免, 问题是: 出现多数票循环时该谁当选?
研究社会选择问题的理论家提出：应该采用某种与群中成员偏好有关的数量指标来反映群(即社会)对各方案的总体评价. 这种数量指标称为社会选择函数.

二、社会选择函数的几个性质
0. 记号
在对x,y比较时
1 若 x fy
D= 0 若 x ～y
-1 若 y fx
群中各成员的偏好分布 D = ( D,…,D)
偏好分布的集合 Ð = { -1, 0, 1 }
社会选择函数 FD) = f( D,…,D) D ∈ Ð
即 F : { -1, 0, 1 } → { -1, 0, 1 }
1. 明确性 (Decisiveness)
D≠0 → F(D) ≠0
2. 中性 (Neutrality)又称对偶性 对侯选人的公平性
f( -D,…,-D) = - f( D,…,D)
3. 匿名性 (Anonymity) 又称平等原则 各成员的权力相同
f( D,…,D) = f( D,…,D)
其中σ是 (1, …n)的新排列
4. 单调性 (Monotonicity)又称正的响应
若 D ≥D’ 则F ( D )≥F ( D’ )
5. 一致性 (Unanimity)又称Weak Pareto性
f ( 1, 1,…, 1) = 1 or f ( -1, -1,…, -1) = -1
6. 齐次性(Homogeneity)
对任意正整 数m F ( mD ) = F ( D )
7. Pareto性
D∈ { 1, 0 } for all I and D = 1 for some k → F ( D ) = 1
D= 0 for all I → F ( D ) = 0

三、社会选择函数
1. Condorcet-函数
f(x) = N( x fy )
f( .) 值愈大愈优.
例12. 6 群中60个成员的态度是:
23人认为 a fb fc
17 人认为 b fc fa
2人认为 b fa fc
8人认为 c fb fa
10人认为 c fa fb
N(a fb)=33, N(a fc)=25 因此f( a ) = 25
N(b fa)=27, N(b fc)=42, 因此f( b ) = 27
N(c fa)=18, N(c fa)=35, 因此f( c ) = 18
∴ b f a f c
Condorcet-函数值还可以用下法求得:
根据各方案成对比较结果列出表决矩阵
-- 33 25 矩阵中各行最小元素: 25
N = 27 -- 42 27
35 18 -- 18
即Condorcet-函数值. Condorcet-函数满足性质1~6.
2. Borda-函数
f (x) = N( x fy )
f (x) 即表决矩阵中x各元素之和, f ( .) 值愈大愈优.
例12. 6中方案a ,b ,c的Borda-函数值分别是58, 69, 53, ∴ b f a f c
Borda-函数满足性质1~6.
3. Copeland-函数
根据各方案两两比较的胜负次数的差来定
f(x) = M{y: y ∈A且 x fy}- M{y: y ∈A且y fx}
f( .) 值愈大愈优. 例12.6中方案a ,b ,c的Copeland函数值均为0, 三者平局.
Copeland-函数满足性质1~6.
4. Nanson函数
用Borda-函数求解, 每次淘汰Borda-函数值最小的方案:
即: A = A ,
A = A\{ x∈A; f (x) ≤f (y),且对某些y f (x) ＜f (y) }
直到 A = A 为止.
例12. 6中f (c) 的Borda-函数值最小, ∴A = A \{ c } = { a, b }
A = A\{ b } = { a } ∴ a f b f c
Nanson函数不满足性质(4).
5. Dodgson函数(C.J.Dodgson, 英，1832— 1898)
使某个候选人成为Condorcet候选人需要N中成员改变偏好的总选票数.
N个成员,m个候选人 记 n = N (a f a)
n为偶数时 =n/2 n为奇数时 =(n+1)/2 n = 0
f (a) = j=1,…,m
例12.6中, a,b,c的Dodgson函数值分别为5, 3, 12, ∴ b f a f c
Dodgson函数不满足 (4).
6.Kemeny函数
· 使社会排序与各成员对方案的偏好序有最大的一致性.
首先定义：
①社会选择排序矩阵 L = {l}
ì 1 a f a
l=í 0 a～ a
î -1 a f a
A 上的每一线性序都对应一个L
记 = N (a f a)
= N (a f a)
= N (a～ a)
②比例矩阵 M = {m}
m = (+/2)/n
③投票矩阵 E = M-M
e =
定义 < E·L > = e l
即, 群中认为 a f a 的成员的比例与群的排序l的内积, 它反映群的排序与成员排序的一致性.
Kemeny函数 f= max < E·L > 。
7. Cook-Seiford函数
设成员i 把方案j 排在 r位, 方案j的群体序为K
则成员I与群体序的总偏差 : | r-K |
各成员排序与群体序的总偏差 d= | r-K |
数学规划 min d p
s. t. p = 1
p = 1
的解中 p = 1 表示方案j的群体序为K
8. 本征向量函数
Dodgson矩阵 D = [ d]
其中: d= n/n, 显然d = 1/d , 但是d≠djl * dlk ,
可由 (D - mI) W = 0
求得 W 后.按各分量的大小排相应方案的次序.
9. Bernardo函数
上述各种方法只根据各成员对各方案的总体优劣集结成群体序.对某些多人多准则问题, 尤其是实际工程问题, 应该根据每个准则下各方案的优劣次序集结成群体序.
一般的多准则社会选择问题可以表述为: 对有限方案集A={ a, … ,a}, 由委员
会 N={ 1, 2,… ,n } 根据准则集(即评价指标体系) C={c1, c1, …,cr} 来确定各方案的优先次序.
在求解问题时, 首先要根据r种不同的准则中的每一种准则,分别描述各方案aj的优劣. 为了集结各成员的意见,可以用协商矩阵∏表示委员会对各方案优劣的总体感觉. ∏是m×m方阵, 其元素表示将方案aj排在第k位的成员人数. 为了反映各准则的重要性, 可以对各准则加权. 权向量W={w1, w2, …, wr}. 设根据准则cl, 有位成员将aj
排在第k位, 则=. , Bernardo定义一个0-1矩阵P, 其每行、每列只有一个元素为1,余者均为0. 使 极大, 即
max
s.t. =1 k=1,2, …,m
=1 j=1,2, …,m
∈ {0,1}
P中的非0元素=1表示方案aj应该排在k位.

§12.4 社会福利函数(Social Welfare Function)
一、社会福利(Social Welfare)
1. 福利经济学是经济学中的一个学派，主要研究社会的福利与福利的判断问题；
2. 福利经济学家(例Bergson, Samulson等)认为：
社会福利是一种可以测度的量，人们可据以判断一种社会状况是优于，无差异于还是劣于另一种社会状况。即可以用 Social welfare function来度量社会福利。
定义：
SWF是社会状态x的实值函数，是社会福利的测度，记作W(x)=G(w (x),…,w (x))
Note: ①社会福利是社会中各成员所享受福利的综合，而非总和;
②个人的福利wi(x)与该成员对社会的贡献、地位、个人的兴趣、爱好等多种因素
有关.
3. 若用u(x)表示社会状态x带给成员i的福利，则W(x)=G(u (x),…,u(x)),
在相互效用独立时G可表示为加性，即W(x)=
但是，由于存在不确定性, 设导致x的自然状态θ的概率为π(θ)
故应有：max{ E[W(x)] = }, 所以社会福利的判断极其复杂.
即使对确定性的x
a)各成员间的效用并不独立：不患寡而患不均;
b)两个人的福利相加并无意义(一个人享受双分福利与二人各享受一份绝不等价), 所以加性社会福利函数并无实际意义.
而且使用SWF存在如下问题:
①各成员的福利(效用)函数如何确定?
②人与人间的福利函数如何校定基准值与比例尺，即如何进行效用的人际比较?
③由谁评价? 怎样评价? 即个人的诚实性与评价的公平性如何检验?
社会福利函数的实质：是一种规则，是潜在的群决策过程, 是从个人对社会状况的排序得出社会总体排序的方法.

二、偏好断面(profile of preference ordering)(偏好分布)
1可能的偏好序
(1) 二个方案 x f y , x p y , x ~y
(2) 三个方案 R: x f y f z , R: x f z f y , … , R: x ~ y ~ z
记各方案间可能的偏好序集合 r = { R, R,…, R},则可能的偏好序种类S为:
方案数 m 2 3 4 5 7 8
只考虑强序时 m! 2 6 24 120 720 5040
全部 S 3 13 75 541 4386 46033
2偏好断面：
记成员i的排序为Oi , Oi∈r
偏好断面P = ( O1,O2, …,On) P ∈r
社会福利函数f : P →r
3. 可能的社会福利函数
2个成员, 2个方案成员的偏好序S=3时,f的定义域即偏好分布有3= 9种, f的值域即群的排序为3, 因此, f的可能形式有3=19683种.
3个成员, 2个方案时, f的可能形式有3=7.6256×10种.
2个成员, 3 个方案时, f的可能形式有13=1.8×10种.
3个成员, 3个方案, 只考虑强序时, f的可能形式有6=1.2×10种.
在这许多可能形式中,哪些比较合理呢? K. J. Arrow研究了社会福利函数应当满足的条件.

三、Arrow的条件(即社会福利函数应当具有的性质)
条件1. 完全域(广泛性) Universality
a). m ≥3
b). N ≥2
c). 社会福利函数定义在所有可能的个偏好分布上;
条件2. 社会与个人价值的正的联系(Positive association of social and individual value)
若对特定P,①原来有x fG y，则在P作如下变动后仍有有x fG y