因式分解专项训练.doc

因式分解方法技巧
专题一
分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：
1、漏项，特别是漏掉
2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化
3、分解不彻底
首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”
［例题］把下列各式因式分解：
1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2 2.a5-a 3. 3(x2-4x)2-48

1、 2、 3、　　

4、56x3yz+14x2y2z－21xy2z2 5、－4a3＋16a2b－26ab2 6、

专题二
二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：
根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：
A、 多项式为二项式或可以转化成二项式；
B、 两项的符号相反；
C、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；
D、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；
E、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式
[例题]分解因式：3(x+y)2-27

1)x5－x3 2） 3)25－16x2

4)9a2－b2. 5）25－16x2; 6）9a2－b2.

专题三
三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的形式
完全平方公式运用时注意点：
A. 多项式为三项多项式式；
B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；
C. 第三项为B中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。
【例题】将下列各式因式分解：
1）ax2-2axy+ay2 2)x4-6x2+9

1)25x＋20xy＋4y2 2）x＋4x＋4x 3)

4) 5)

专题四
多项式因式分解的一般步骤： 
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
分组分解法 
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 
[例题]分解因式
1. m2 +5n-mn-5m  2.

1、 2、 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 

（1） （2）

（3）

2. 已知：，求的值。

3. 若是三角形的三条边，求证：

专题五
完全平方公式在使用时常作如下变形：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.

例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.

例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.
例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3。求：α2+b2+c2-αb-bc-cα的值.

巩固练习
把下列各式分解因式
（1）4x3﹣31x+15； （2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4； （3）x5+x+1；

（4）x3+5x2+3x﹣9 （5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8

1、x3y﹣xy 2、3a3﹣6a2b+3ab2 3、a2（x﹣y）+16（y﹣x） 4、（x2+y2）2﹣4x2y2

（1）2x2﹣x； （2）16x2﹣1； （3）6xy2﹣9x2y﹣y3； （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 （1）3x﹣12x3 （2）（x2+y2）2﹣4x2y2

（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m） （3）（x+2y）2﹣y2
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 35、 36、

（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2

（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x） （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 （3）a2﹣4a+4﹣b2

（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2

（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m） （2）4x3+4x2y+xy2 （3）（x2+y2）2﹣4x2y2 （4）3x﹣12x3

（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 （1）2am2﹣8a （2）（x﹣1）（x﹣3）+1

（1）a2﹣b2﹣2a+1 （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2
（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1

⑴ a4－16 ⑵ ⑶ x2－1＋y2－2xy

1、 2、（m+1）(m-1)-(1-m) 3、

1、6xy2-9x2y-y3 2、(2a-b)2+8ab 3、 4、

1、 2、 3、 4、

37、 38、 39、

40、 41、

42、36（x+y）2－49（x－y）2　　　43、（x－1）+b2（1－x）　　44、（x2+x+1）2-1

1、－　　 2、 3、

1、 2、 3、

1、　　　　 2、　

1、 　　　2、a2＋2ab＋b2－a－b　3、4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

（1）6a-a2-9；　　　　（2）-8ab-16a2-b2　　　　　　　　（3）2a2-a3-a；　　
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