专题四万有引力定律和天体运动.doc

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专题四 万有引力定律和天体运动

重点难点
1．研究天体运动的基本方法：
研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．
即 G = m2 = m2ω2r = m2（）2r
2．卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系
①υ= ，即线速度 υ∝；
②ω = ，即角速度ω∝;
③T = ，即周期T∝，或 = ，即开普勒第三定律;
④a = ，即向心加速度a∝
3．“双星”和“黑洞”
“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力．
“黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天体，它的质量十分巨大，以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出．已知物体从地球上的脱离速度（即第二宇宙速度）是υ= ，故一个质量为M的天体，若它是一个黑体，则其半径R应有：R≤．

规律方法
【例1】（05年苏常等四市）由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E = ，在引力场中可以有一 个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 （AD）
A．G 　　 B．G C．G D．
训练题（05年湖北）在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为 （ A ）
A． 　　 B． 　　C． D．
【例2】（05年广东）已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运动周期为T1，地球的自转周期为T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地心作圆周运动，由G = m（）2h，得M = 
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
【解析】（1）地球半径约为6400km，同步卫星的高度约为36000km．计算同步卫星轨道半径时，就不能忽略地球的半径．故题中的结果是错误的．
正确的解法和结果是：由G = m（）2（R+h），得： M = 
（2）方法一：由月球绕地球做圆周运动，有：G = m（）2r，得：M =
方法二：在地面附近重力近似等于万有引力，由 = mg得：M = ．
训练题已知物体在质量为M、半径为R的星球表面脱离的速度为υ= ，其中G = 6.67×10-11N·m2/kg2．黑洞是一种质量十分巨大的特殊天体，因此任何物体（包括光子）都不能脱离它的束缚．
（1）天文学家根据天文观测认为：在银河系中心可能存在一个大黑洞，它的引力使距该黑洞60亿千米的星体以2000km/s速度绕其旋转，若视星体做匀速圆周运动，试求该黑洞的质量．
（2）若黑洞的质量等于太阳的质量M = 2×103kg，求它的可能最大半径．
（3）在目前的天文观测范围内，宇宙的平均密度为10-27kg/m3，若视宇宙是一个均匀的大球体，光子也不能逃离宇宙，则宇宙的半径至少应为多少?
答案：（1）M=3．6×1035kg
（2）Rm=3×103m
（3）R＞4×1025m

【例3】（05年南通）一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动，用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的飞行周期为T（小于24h）．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比．（万有引力常量为G；球体体积公式为V = πr3，r为球半径；球冠面积公式为S = 2πrh，r为球半径，h为球冠高）

【解析】如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．
卫星绕地球运动，有： = mR
其中地球的质量为M，则M = πr3ρ
图中球冠的高为h，则h = r（1-cosα）
其中cosα = 
而球冠的总面积为 S′ = 2πrh×2，地球的表面积为
S = 4πr2
解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为 = ．
训练题宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此时刻星球对观察者的眼睛所张视角为；②当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面h处以初速度水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为S。已知万有引力恒量G，光速c，星球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计。试根据以上信息，求：
（1）星球的半径R。
（2）星球的质量M。
答案：，

【例4】阅读下列材料，并结合该材料解题．
开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上．
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．
实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动．如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示．问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式．
【解析】卫星在半径为r的圆轨道运动有：
r
得此时卫星的周期为T1 = 2π
卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a = 
由开普勒第三定律有： = ，得
T2 = π（R+r）
另外，在地球表面时，近似有： = mg，得 GM = R2g．
从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t = ，得t = ．
训练题卢瑟福的α粒子散射实验，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星模型，这是因为两者之间有极大的相似之处，带电粒子间遵循库仑定律，而星体之间遵循万有引力定律，两定律有相同的表达形式．以无穷远处电势为零点，点电荷的电势为u = k，可推出氢原子基态能级为-13．6eV．
（1）令距地球无穷远处为重力势能的零点，计算：质量为1t的卫星，绕地表飞行，其总机械能为多大?
（2）再补充多少能量可使它脱离地球的引力?
答案：（1）E=－3．1×1010J
（2）E/=3．1×1010J

能力训练
1．（05年山东）2005年10月12日，我国利用“神舟六号”飞船将宇航员费俊龙、聂海胜送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家．设费俊龙测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T．离地面的高度为H，地球半径为R．则根据T、H、R和万有引力恒量G，费俊龙不能计算出下面的哪一项（ C ）

A．地球的质量 B．地球的平均密度C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
2．（05年南通）如图在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 （ CD ）
A．该卫星的发射速度必定大于11.2km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
3．（05年汕头）“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，则飞船在上述圆轨道上运行的动能 （ B ）
A．等于mg（R+h） 　　B．小于mg（R+h）　
C．大于mg（R+h）　　　D．等于mgh
4．（05年佛山）氢原子中的电子绕原子核旋转和人造地球卫星绕地球旋转相比较（不计算空气阻力），下列说法正确的是 （ AB ）
A．轨道半径越大，线速度都越小
B．轨道半径越大，周期都越大
C．电子从内层轨道向外层轨道跃迁时，总能量（动能和电势能）不变，人造卫星从远地点向近地点运动时，总能量（动能和重力势能）也不变
D．电子可以在大于基态轨道半径的任意轨道上运动，卫星可以在大于地球半径的任意轨道上运动
5．我国的航天技术正在飞速发展，在我国航天史上第一颗人造卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，它在近地点时离地面高度为h，速度为υ，又知地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则它在近地点时的加速度大小（ A ）
A． 　　　B．　　　C．g　　　 D．
6．（05年江苏）某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则（ B ）
A．r1＜r2，Ek1＜Ek2 B．r1＞r2，Ek1＜Ek2
C．r1＜r2，Ek2＞Ek2 D．r1＞r2，Ek1＞Ek2
7一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R (R为地球半径)，卫星的运动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g。
（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。
（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。
答案：（1）地球对卫星的万有引力提供作圆周运动的向心力

地面表面附近的重力加速度g =　

把r＝2R代入，解方程可得

（2）卫星下次通过该建筑物上方时，卫星比地球多转2p弧度，所需时间

8（05年杭州）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T。
⑴ 试求该卫星的运行速度；　
⑵ 要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少?
答案：⑴　设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，由万有引力提供向心力：

设地球表面有个质量为m0的物体，则：m0g=
由①②式联立，卫星的运行速度为：
⑵设卫星的运动周期为T′，则：
得：
一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：
摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S＝
得：S＝

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