高考第一轮复习数学：8.1椭圆.doc

第八章 圆锥曲线的方程

●网络体系总览

●考点目标定位
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.
5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.
●复习方略指南
本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：
1.注重双基 保持稳定
圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.
2.全面考查 重点突出
试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.
3.考查能力 探究创新
试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.
在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.
学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：
1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；
2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；
3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；
4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.

8.1 椭圆

知识梳理
定义
1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（＞|F1F2|）的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（∈（0，1））的点的轨迹

3.参数方程
方程
1. +=1（a＞b＞0），c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
2.+=1（a＞b＞0），c=，焦点是F1（0，－c），F2（0，c）
x=acosθ，
θ为参数

y=bsinθ

性质
E：+=1（a＞b＞0）
1.范围：|x|≤a，|y|≤b
2.对称性：关于x，y轴均对称，关于原点中心对称
3.顶点：长轴端点A1（－a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，－b），B2（0，b）
4.离心率：e=∈（0，1）
5.准线：l1：x=－，l2：x=
6.焦半径：P（x，y）∈E
r1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=a－ex
思考讨论
对于焦点在y轴上的椭圆+=1（a＞b＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？
●点击双基
1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为
A.8 B.16 C.25 D.32
解析：利用椭圆的定义易知B正确.
答案：B
2.（2004年湖北，6）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为
A. B.3 C. D.
解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF1F2或∠PF2F1为直角.由a=4，b=3得c
∴|yP|=.
答案：D
（为参数）的焦点坐标为
3.（2003年春季北京）椭圆
x=4+5cos，
y=3sin
A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0）
C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）
解析：消参数得椭圆+=1，∴c=4.易得焦点（0，0），（8，0）.
答案：D
4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
解析：椭圆方程化为+=1.
焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0c，0），c2=a2－b2，
则P（－c，b），即P（－c，）.
∵AB∥PO，∴kAB=kOP，即－=.∴b=c.
又∵a==b，
∴e===.
评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.
【例2】 如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ.
求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ.
剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2，问题即获解决.

证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.
所以r1r2=.
这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.
评述：解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.
特别提示
我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.
【例3】 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
剖析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.

∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.
由
x+y=1，
ax2+by2=1，
∴=，=1－=.∴M（，）.
∵kOM=，∴b=a. ①
∵OA⊥OB，∴·=－1.∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），
∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=.
∴+=0.∴a+b=2. ②
由①②得a=2（－1），b=2（－1）.
∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1.
评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于
A. B. C. D.4
解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F1，左焦点为F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.

∵+y2=1，∴a=2，b=1，c=.
∴F1（，0）.设P（，yP）代入+y2=1，得yP=，
∴P（，），|PF1|=.
又∵|PF2|+|PF1|=2a=4，
∴|PF2|=4－|PF1|=4－
解法二：椭圆的左准线方程为x=－=－.
∵=e=，∴|PF2|=.
解法三：由解法一得P（，），
又F2（－，0），
∴|PF2|==.
答案：C
评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.
2.（2003年昆明市模拟题）设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为
A. －1 B.2－ C. D.
解析：易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（）2+2（）－2=0，=－1.

答案：A
3.（2005年春季北京，10）椭圆+=1的离心率是____________，准线方程是____________.
解析：由椭圆方程可得a=5，b=3，c=4，e=，准线方程为x=±=±.
答案： x=±
4.已知P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.
解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．
答案：＋＝1
5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
解：由题设条件可知a=2c，b=c，又a－c=解得a2=12，b2=9.∴所求椭圆的方程是+=1或+=1.
6.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则+=1， ①
+=1. ②
①－②，得
+=0.∴=－·.
又∵M为AB中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
∴直线l的斜率为－.∴直线l的方程为y－1=－（x－1），即3x+4y－7=0.
培养能力
7.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组
y=x+1，
mx2+ny2=1.
消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.
Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，
即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，
∴－+1=0.∴m+n=2. ①
由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=. ②
或
解①②得
m=， m=，
n= n=.
∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1.
8.（2003年南京市模拟题）设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8.
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.
（1）解法一：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8，
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.
∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.
解法二：由题知，+=8，
移项，得=8－，
两边平方，得x2+（y+2）2=x2+（y－2）2－16+64，
整理，得2=8－y，
两边平方，得4［x2+（y－2）2］=（8－y）2，
展开，整理得+=1.
（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.
∵=+=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.
∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
消y得（4+3k2）x2+18kx－21=0.此时，Δ=（18k2）－4（4+3k2）
由
y=kx+3
+=1，
（－21）＞0恒成立，且x1+x2=－，x1x2=－.
∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即·=0.
∵=（x1，y1），=（x2，y2），
∴·=x1x2+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
即（1+k2）·（－）+3k·（－）+9=0，即k2=，得k=±.
∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.
探究创新
9.已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且==，P为GE与OF的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

分析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P到两定点距离的和为定值.
解：按题意，有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）.
设===k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为2ax+（2k－1）y=0. ①
直线GE的方程为－a（2k－1）x+y－2a=0. ②
由①②消去参数k，得点P（x，y）满足方程2a2x2+y2－2ay=0.
整理得+=1.
当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当a2≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当a2＜时，点P到椭圆两个焦点（－，a），（，a）的距离之和为定值.
当a2＞时，点P到椭圆两个焦点（0，a－），（0，a+）的距离之和为定值2a.
评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.
●思悟小结
1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.
2.要明确参数a、b、c、e的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.
3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，==e；
（2）|A1F1|=|A2F2|=a－c，|A1F2|=|A2F1|=a+c；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，
|PM2|+|PM1|=.

●教师下载中心
教学点睛
本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：
（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如下图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ==e.

（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.
（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.
（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.
（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.
（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
拓展题例
【例1】 （2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1.

（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；
（2）设||=c（c≥2），S=c，若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程.
解：（1）由已知，得
||||sin（π－θ）=S，
||||cosθ=1.
∴tanθ=2S.
∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4.
则＜θ＜arctan4.
（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），Q（x，y）.
=（c，0），则=（x－c，y）.
∵||·y=c，∴y=.
又∵·=c（x－c）=1，∴x=c+.
则||==（c≥2）.
可以证明：当c≥2时，函数t=c+为增函数，
∴当c=2时，
||min==，
此时Q（，）.将Q的坐标代入椭圆方程，
解得
得
+=1， a2=10，
a2－b2=4. b2=6.
∴椭圆方程为+=1.
【例2】 （2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列.
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.

（1）解：由椭圆定义及条件知
2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5.又c＝4，所以b＝＝3．
故椭圆方程为＋＝1．
（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝．
方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．
根据椭圆定义，有｜F2A｜＝（－x1），｜F2C｜＝（－x2）．
由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得
（－x1）＋（－x2）＝2×．
由此得出x1＋x2＝8．
设弦AC的中点为P（x0，y0），
则x0＝＝＝4．
方法二：由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得＋＝2×， ①
由A（x1，y1）在椭圆＋＝1上，得y12＝（25－x12），
所以=
＝＝（25－4x1）. ②
同理可得＝（25－4x2）． ③
将②③代入①式，得（25－4x1）＋（25－4x2）＝．
所以x1＋x2＝8．
设弦AC的中点为P（x0，y0），则x0＝＝＝4．
（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得
9x12＋25y12＝9×25， ④
9x22＋25y22＝9×25． ⑤
由④－⑤得9（x12－x22）＋25（y12－y22）＝0，
即9（）＋25（）（）＝0（x1≠x2）.
将＝x0=4，＝y0，＝－（k≠0）代入上式，得
9×4＋25y0（－）＝0（k≠0）．
由上式得k＝y0（当k＝0时也成立）.
由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m，
所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0．
由P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得－＜y0＜.
所以－＜m＜．
评述：在推导过程中，未写明“x1≠x2”“k≠0”“k＝0时也成立”及把结论写为“－≤m≤”也可以.
解法二：因为弦AC的中点为P（4，y0），
所以直线AC的方程为y－y0＝－（x－4）（k≠0）. ⑥
将⑥代入椭圆方程+＝1，得
（9k2＋25）x2－50（ky0＋4）x＋25（ky0＋4）2－25×9k2＝0．
所以x1＋x2＝＝8．
解得k＝y0（当k＝0时也成立）.
以下步骤同解法一.