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第四节 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二.无穷大量1.作业习题1-4（教材35页）1(1)(2);2(1);3；5；6；8.2.一、无穷小量及其运算性质 简言之,在某极限过程中,以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.3.例1在任何一个极限过程中,常值函数 y=0 均为无穷小量.4.1.无穷小量的定义定义定义定义定义5.2.函数的极限与无穷小量的关系 分析反之亦然.由以上的分析,你可得出 什么结论?6.由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理定理定理定理7.同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小
2、量之积仍为无穷小量.3.3.无穷小量的运算法则无穷小量的运算法则8.常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.9.证明：在某极限过程中,两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证证10.证明:在某一极限过程中,无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证证11.例2证证证明有界量与无穷小量的乘积12.证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证证有界量与无穷小量之积有界量与无穷小量之积13.(i)一般说来,有界量的倒数不一定有界.例如,f(x)=x,x
3、0,1).(ii)我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.注意注意：14.例3解15.二二.无穷大量无穷大量16.定义定义定义定义1.无穷大量的定义17.例4(iii),(iv)自己画画图会更清楚.18.例5解无穷大量是按绝对值定义的.19.例6无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?但该数列是无界的.20.当 x 时,函数 sinx、cosx,是否为无穷大量？因为sinx、cosx 是有界函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.21.2.无穷大量与无穷小量的关系(无穷大量的倒数为无穷小量,x 0)(无穷小量的倒数为
4、无穷大量,x 0)则例722.在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明.定理定理定理定理23.无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真反之不真3.无穷大量的运算性质24.在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.25.不是无穷大量不是无穷大量是无穷大量是无穷大量例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察26.例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:27.例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:不一定再是无穷大量.28.结论:在某个极限过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量不一
5、定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.29.作业习题1-4（教材35页）1(1)(2);2(1);3；5；6；8.30.柯柯 西西 A.L.Cauchy (17891857)业绩永存的业绩永存的 数学大师数学大师31.柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。32.
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