西城南区2010-2011初三上学期期末数学试题及答案.doc

2010-2011西城初三 上期末试题 南区北京中考一对一 393002000@

北京市西城区（南区）2010——2011学年度第一学期期末质量检测
2011.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴为（ ）.
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC=（ ）.
A．60° B．45° C．30° D．15°
A
B
C
3. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，
若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则tan∠ACB
的值为（ ）.
A．1 　 B．　　 　C． D． 　
4．用配方法将化成的形式为（ ）.
A． 　 B．
C． D．
5．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△（顶点
均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则
P点的坐标是（ ）.
A． B．
C． D．
6. 袋中有同样大小的3个小球，其中2个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球， 这两个球都是红球的概率是（ ）. A． B． C． D．1
7. 如图，在△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点
为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD.若CD等于
，则扇形OCED的面积等于（ ）.
A．　 B． C． D．
A
E
B
C
F
D
A1
D1
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点E，F分别在
AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形
ABCD外部的点A1，D1处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）.
A．24 cm B．30 cm C．32 cm D．36 cm
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 在双曲线的任一支上，y都随x的增大而减小，则k可能的值是 .（写出一个即可）
y
1
x
2

O
10. 两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为 .　　　　　　　　　　　　　　　　 11. 如图，直线与双曲线在同一平面直角坐标系中的图
象如图所示，则关于的不等式>的解集为 .

12．抛物线满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；
③；④，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：6tan2 30°－sin 60°－cos 45°．
14．如图，A，B，C三点均为格点，△ABC与△A′B′C′
关于y轴对称.
(1) 画出△A′B′C′；
(2) 如果△ABC边上任意一点的坐标为，
那么它
的对应点' 的坐标是 ．
15．如图，在Rt△ADC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，
AC＝，点B为CD延长线上一点，且BD＝2AD．
求AB的长.
16．右图为二次函数的图象的一部分，它与轴的
一个交点坐标为A，与轴的交点坐标为B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移
1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
17．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶
部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，
热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.
（取1.414，取1.732）
18．已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求平移后直线的解析式．
四、解答题（本题共20分，其中第19题4分，第20题6分，第21、22题各5分）
19．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于 ，= °；
图1
图2
图3
（2）利用图3思考：在旋转的过程中，当矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，= °．

20．已知抛物线 .
（1）它与x轴的交点的坐标为 ，与y轴的交点的坐标为 ，
顶点的坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；

（3）利用以上信息解答问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）
在＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于E，交⊙O于
点F，连接BF，CF，且∠D=∠BFC.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.
22.请阅读下面材料：
若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点为实数)，证明直线 为此二次函数的对称轴.
有一种证明方法如下：
①
②
证明：由题意得
①-②得.
∴ .
∵ ，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，
∴ ≠.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为二次函数的对称轴.
（1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数，当x = 4 时的函数值与当x = 2007 时的函数值相等，
求当x = 2012时的函数值.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 反比例函数（）的图象过点A（2，3）.
（1）如图，的OC边在轴上，该反比例函数的图象经过的斜
边OB的中点D，与BC边交于E．过D做DF⊥x轴，垂足为F．直接写出ODF
和OBE的面积；
（2）设M（）是该反比例函数图象上异于点A的一点，过M作平行于轴
的直线，过A作平行于轴的直线，与交于点G．顺次连结OA，AG，
GM，MO．设由它们围成的图形的面积为，求与的函数关系式．

24.已知抛物线（其中a ≠ c）.
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与抛物线的另一个交点为，
求抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，直接写出N关于n的函数关系式.

25. 如图1，在平面直角坐标系中，⊙P交y轴于A(0,9)，B(0,1)，与x轴相切于C.
（1）求⊙P 的半径和P点坐标；
（2）如图2，作直径EF∥x轴交⊙P于E，F，交y轴于点D，B'与B关于x轴对称，
连结B'F交⊙P于H.
① 求FH的长；
② 若点Q是线段EF上一动点，求QB+QH的取值范围.

图1 图2

北京市西城区（南区）2010——2011学年度第一学期期末质量检测
九年级数学参考答案及评分标准
2011.1
一． 选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
A
B
B
D

二．填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 1（答案不唯一）. 10. 相交. 11. x>1或 -1……………3分

（2）（-x，y）.……………………………………………………………………………5分

15．解：在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=60°，AC=，
∴，DC=1．…………………2分
∵ B为CD延长线上一点，BD=2AD ，
∴ BD=4，CB=5． …………………………………………………………………4分
∴．…………………………………………………5分

16．解：（1）∵ 抛物线经过A、B两点，
∴ ……………………………………………………………1分
解得 ………………………………………………………………2分
∴ 抛物线的解析式为． ……………………………………3分
（2）∵ 抛物线的顶点坐标为，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为．
∴ 平移后的抛物线的解析式为．…………5分

17．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
∴ BD=AD=50(m)．…………………………………………………………………2分
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，
∴ (m) ．……………………………………………………4分
∴ BC= BD+CD= (m)．………………………5分
答：这栋楼高约136.6 m．

18．解：（1）设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．
∵两个函数图象都经过点，
∴.
∴.
∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为． ……………2分
（2）∵点在反比例函数上，
∴.
∴点坐标为．………………………………………………………… 3分
设直线向下平移后的直线解析式为， …………………… 4分
∵经过点，
∴.
∴.
∴平移后直线的解析式为．………………………………………… 5分

四．解答题（本题共20分，第19题4分，第20题6分，第21、22题各5分）
19．解：（1）∠DCE= 60 °，点C到直线l的距离等于，= 30 °；…………………3分
（2）= 45 °．………………………………………………………………………4分

20．解：（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，

顶点坐标为 ；…………………………………………………………3分
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
0
3
…
（2）列表：

图象如右图所示：………………………………5分
（3）t的取值范围是． …………………6分

21．（1）证明：∵ OD⊥AC于E，
∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴ ∠D +∠2=90°．
∴ OA⊥AD． ………………………………………………………………1分
∴ AD是⊙O的切线． ……………………………………………………2分
（2）解：∵ OD⊥AC于E，AC是弦且AC=8，
∴ ． ……………………………………………………3分
∵ ∠B=∠C，tanB =，
∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．
∴ ．
设⊙O的半径为r，则．
在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，
即 ． 解得 r=5． ………………………………………4分
∴ 在Rt△OAE中，．
∴ 在Rt△OAD中，．……………………5分

22．解：（1）结论：如果直线 （，为实数且≠）为抛物线
（a ≠ 0）的对称轴，那么自变量取，时函数值相等．……………1分
∵ ，为抛物线上不同的两点，
①
②
由题意得 且≠．
①-②得 . …2分
∵ 直线为抛物线（a ≠ 0）的对称轴，
∴ .
∴ .
∴ ，即.…………………………3分
（2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，
∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
∴ ，.
∴ 二次函数的解析式为. …………………………………4分
∵ ，
由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为，
∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1） 3 ，………………………………………………………………… 1分
= 9 ；………………………………………………………………… 3分
（2）当m >2时，设直线与轴交于点．
∵，
∴．
∴．
∴＝．
又∵点在上，
∴．
∴．……………………………………………………5分
当0………………………………………………… 1分
∴ 抛物线与x轴交点的坐标为，. …………………………………2分
（2）抛物线的顶点A的坐标为.
∵ 经过此抛物线顶点A的直线与抛物线的另一个交点为，
①

②

③

由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分
将其代入①、② 得
解得 .
∴ 所求抛物线的解析式为 .…………………………………… 4分
（3）作PE⊥x轴于点E， PF⊥ y轴于点F.（如图1）
抛物线的顶点A的坐标，点C的坐标为，点B的坐标为
.
图1
设点P的坐标为，
∵ 点P在x轴上方的抛物线上，
∴ ，且0＜m＜1.
∴ ，.
∵ ，
∴ .
解得 m=2n，（舍去）. ……………………5分
将m=2n代入，得.
解得，（舍去）.
∴ .
∴ 点P的坐标为. …………………………………………………………6分
（4）N=4n . ………………………………………………………………………………7分
说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时随x的增大而减小，
∴ ＜y≤，
其中的整数有，，…，
.

25．解：（1）连结、，过点作轴于点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵⊙与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴四边形为矩形．
∴．
即⊙的半径为5 ． …………………………………………………………2分
∴．
∴点坐标为．…………………………………………………………3分
（2）① 过点作于点．
由题意，得，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．………………………………………………………………5分
② 连结交于点，连结，此时最小．
过点作于．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
由勾股定理得，即的最小值为． ………………7分
当点与点重合时，最大．
此时，，，
∴的最大值为．
∴的取值范围是．……………………8分

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