上海市嘉定区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题.doc

2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若（为虚数单位），则___________．
2．已知集合，，
则_____________．
3．函数的最小正周期是．
4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
开始

结束

输出
是
否
5．在等差数列中，，从第项开始为正数，
则公差的取值范围是__________________．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的的
值为_____________．

（第6题图）

7．小王同学有本不同的语文书和本不同的英语书，从中任取本，则语文书和英语书各有本的概率为_____________（结果用分数表示）。
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是__．
9．动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．
10．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．
11．已知点，，，其中为正整数，设表示△的面积，则___________．
12．给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为______．
13．设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________．
14．在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足当数列的周期为时，则的前项的和________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知，条件：，条件：，则是的…………………（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．以下说法错误的是……………………………………………………………………（ ）
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
17．设函数是偶函数，当时，，则}等于…（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
18．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，，．有四个命题：①若，则点、一定在直线的同侧；②若，则点、一定在直线的两侧；
③若，则点、一定在直线的两侧；④若，则点到直线的距离大于点到直线的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……………………（ ）
A．① ② ③ B．① ② ④ C．② ③ ④ D．① ② ③ ④

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
设复数，其中，，为虚数单位．若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，底面，，．
（1）求三棱锥的体积；
P
A
B
C
（2）求异面直线与所成角的大小．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
x
O
M
B
N
y
A
T
F
·
（2）若，，求点的坐标．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）写出一个正整数，使得是数列的项；
（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和（），使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，函数．
（1）当时，写出函数的单调递增区间（不必证明）；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）．
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12．
13． 14．

二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A 16．C 17．D 18．B

三．解答题
19．（本题满分12分）
方程的根为．………………（3分）
因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）
所以，解得，因为，所以，……（8分）
所以，所以，故．…………（11分）
所以，．…………（12分）

20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

（1）因为底面，所以三棱锥的高，…………（3分）
所以，．…………（6分）
（2）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（2分）
G
P
A
B
C
F
E
连结，则，……（3分）
， …………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）

21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）由已知，，，…………（1分）设，……（2分）
由，得，…（5分）
化简得，．所以动点的轨迹是直线．……（6分）
（2）将和代入得 ，……（1分）
解得，……（2分）
因为，，所以，．…………（3分）
所以，．…………（4分）
又因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为．……（5分）
由 ，…………（6分）
解得 ．…………（7分）
所以点的坐标为．……（8分）

22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有 ，……（2分）
解得，，…………（3分）
所以的通项公式为（）．…………（4分）
（2）当时，，所以．……（1分）
由，得，两式相减，得，
故，……（2分）
所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．……（3分）
，…………（4分）
要使是中的项，只要即可，可取．…………（6分）
（只要写出一个的值就给分，写出，，也给分）
（3）由（1）知，，…………（1分）
要使，，成等差数列，必须，即
，…………（2分）
化简得．…………（3分）
因为与都是正整数，所以只能取，，．…………（4分）
当时，；当时，；当时，．…………（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：
，，．…………（6分）

23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当时， ，…………（2分）
所以，函数的单调递增区间是和．…………（4分）
（2）因为，时，
．…………（1分）
当，即时，．…………（3分）
当，即时，．…………（5分）
所以， ．…………（6分）
O
x

y

（3）．…………（1分）
①当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（1分）
O
x

y

所以，．……（4分）
②当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（5分）
所以，，．……（8分）