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期数： 0512 SXG3 041
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇
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预 习 篇
预习篇三十一 高三文科数学总复习二十六
——平面向量的数量积
【学法引导】
平面向量的数量积是向量的核心内容，高考主要通过向量的数量积考查向量的
2、平行、垂直等基本关系，并在解答题中计算向量的夹角、长度等.
平面向量的应用是高考命题的一个新动向.
【应用举例】
例1 已知|a|=4,|b|=5，当（1）a//b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
分析：由定义，a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a||b|cos叫做a与b的数量积，据已知条件，确定其夹角即可.
解：（1）a//b时，有两种情况，当a与b同向时，=0°，则a·b=|a|·|b|=20;当a与b反向时，=180°，a·b=|a|·|b|·cos180°=－20.
（2）当a⊥b时，=90°，则a·b=0.
（3）当a与b夹角
3、为60°时，a·b=|a|·|b|·cos60°=10.
【点拨解疑】
掌握平面向量的数量积应注意概念的内涵，由其中夹角(0°≤≤180°)，当a//b时，有=0°和=180°两种情形可知非零向量a，b共线a·b=±|a|·|b|.
例2 用向量方法证明三角形的三条高线交于一点.
分析：设定一些向量为基本向量，通过垂直关系与平面向量的数量积即可证明.
证明：如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高，设BE，CF交于点H.
方法一：设a,b，=h，则
，
∵，
∴
∴
化简得，，∴，
∴AH与AD重合，∴AD，BE，CF相交于点H.
方法二：设，则，
∵，
4、∴
∴，
∴，∴，∴AH与AD重合，
∴AD，BE，CF相交于点H.
【点拨解疑】
用向量作工具证明几何问题时，总要先设一些向量作为基本向量.
例3 设函数的图象为C，将C向左平移h个单位，再向下平移k个单位后得到函数的图象，求h，k的值.
分析：注意平移方向确定向量a是关键.
解：将C向左平移h个单位，再向下平移k个单位，即将C接a=(－h,－k)平移，因此，图象的解析式为，即，它与是同一个函数，∴ 解得
【点拨解疑】
一般地，函数的图象按a=(h,k)平移后所得图象的解析式为，即.
本例属于图象平移的逆向思维题，用待定系数法解.
例4 平面内有向量，点X为直线OP上
5、的一个动点.
（1）当取最小值，求的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求∠AXB的余弦值.
分析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得.进而可利用数量积，求向量与夹角的余弦.
解：（1）设，∵点X在OP上，故与共线，又=(2,1)，
∴x－2y=0, 即x=2y.
∴=(2y，y)，又，
∴，同样，
于是，
即当且仅当y=2时，取得最小值－8，此时=(4,2).
（2）当=(4,2)时，有=(－3,5),=(1,－1),,,
∴=,
∴.
【点拨解疑】
本例考查平面向量数量积，向量夹角公式及最值，解题关键是
6、转化为函数最值，得到=.
例5 (2002年天津高考题)已知两点M(－1,0),N(1,0),且点P使成公差小于零的等差数列.
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为，为与的夹角，求tan.
分析：本小题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力.
解：（Ⅰ）记P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得
∴，
于是，是公差小于零的等差数列等价于
即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
（Ⅱ）点P的坐标为，，
∴
∵，∴,
,
∴.
【强化训练】
1．向量、、满足条件++=0，||=||=||=1，求证：是等边三角形.
2．设两向量e1,e2，满足|e1|=2,|e2|=1，e1,e2的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
点击答案
1．证明：∵，∴，
∴，∴，
∴，同理，，
∴，，
∴，
∴△为等边三角形.
2．解：，
∴，
∴，
设，
∴时，与的夹角为，
∴t的取值范围是.
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