初一竞赛讲座05（代数式初步）.doc

初一数学竞赛系列讲座(5)
代数式初步

一、 一、知识要点
1、代数式
定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
2、代数式的值
定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、列代数式
列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
4、求代数式的值
代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。

二、 二、例题精讲
例1、轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度为每小时b千米(b路程的和除以往返所用时间的和，即
评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。

例2一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。
A、 B、 C、 D、
分析：这是行程问题中的相遇问题。
解 部队的行军速度为米/分。t1分钟内，队尾的战士比部队多走了a米，则他的速度为米/分=米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为(分) 选C

例3 若a意到求的是偶次幂项的系数和，故可将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到
和，相加除以2即可得所求的值。
解 将x=1代入已知等式，得
将x= -1代入已知等式，得
两式相加，得2()=730
∴=365
评注：本题采用的是特值法。

例5 已知当x=7时,代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,的值.
分析 代数式ax5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将x=7代入,可整体地求出75a+7b的值，从而问题得到解决。
解 由已知条件知：a75+b7-8=8，所以a75+b7=16
当x=7时，=(a75+b7)+8=16+8=16
评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。

例6 若ab=1，求的值
分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出，然后直接代入计算；如利用ab=1巧秒地将式子中的“1”代换成ab；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a或b，然后化成同分母进行计算。
解法1 由ab=1得，从而=
解法2 ∵ab=1，∴=
解法3 ∵ab=1，∴=
评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的代换是恒等变形中的常用技巧之一。

例7 若a、b、c全不为零，且 求证：(1978丹东市数学竞赛试题)
分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b，因而可设法从两已知等式中消去b。
证明：由，由
两式相乘得 整理得
去分母得ac+1=a，因为a≠0，故两边同除以a得
评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。

例8 对任意实数x、y，定义运算xy为xy=ax+by+cxy 其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知12=3，23=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x,都有xd=x，求d的值。
解 由已知条件知 12=a+2b+2c=3 ①
23=2a+3b+6c=4 ②
xd=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③
由③得 a+cd=1 bd=0
因为d≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4
从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4
评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。

例9已知代数式，当时的值分别为－1，2，2，而且不等于0，问当时该代数式的值是多少？(第11届希望杯数学竞赛培训题)
分析：所给代数式中含有4个字母a、b、c、d，将所给的三个x取值代入，可得三个方程，要直接求出a、b、c、d的值不可能，但可将d视为常数，从而三个方程可组成关于a、b、c方程组，可将a、b、c用d表示出来，代入将代数式化简后求值。
解：将分别代入该代数式，得到
由此可得 将代入第一个和第三个等式中，得
∴； 进而得到
将和代入代数式中，得到＝
；再将代入，得
即当时该代数式的值是
评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。

三、 三、巩固练习
选择题
1、若代数式2y2+3y7的值是2，则代数式4y2+6y-9的值是( )
A、1 B、-19 C、-9 D、9
2、在代数式xy2中，x 与 y的值各减少25%，则代数式的值( )
A、减少50% B、减少75% C、减少其值的 D、减少其值的
3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )
A、26 B、28 C、36 D、38
4、在式子中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
5、实数a、b、c满足a+b+c=0，且abc=1则的值( )
A、是整数 B、是零 C、是负数 D、正、负不定
6、如果，那么下列说法正确的是( )
A、x、y、z中至少有一个为1 B、x、y、z都等于1
C、x、y、z都不等于1 D、以上说法都不对
填空题
7、某人上山、下山的路程都是S，上山速度为v，下山速度为u，则此人上、下山的平均速度是
8、已知，则代数式xx+yy-xy-yx的值是
9、设a、b、c、d都是整数且m=a2+b2，n=c2+d2，mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是
10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x、y有
则=
11、如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式，那么
12、如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b、x+c的乘积，且b、c均为整数，则a=

解答题
13、已知，
求a1+a2+a3+a4+a5
14、a、b、c互不相等，化简
15、已知x-2y=2，求的值。
16、若abc=1，求的值
17、已知a+b+c=0，求的值。
18、已知的值
19、已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406.
求1999(x+y)+6xy的值
20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数。