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选择题一题6分，填空题一题5分，解答题一题十二分，难度系数3.5，要求100分 加油咯
立体几何专题训练
一、选择题
1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，
且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为
（ ）
C
B
A

D
A. B.
C. D.
2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面
内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ）
A. 最小值，最大值 B. 最小值最大值
C. 最小值，无最大值 D. 无最小值，最大值
3．在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（ ）
B
A
C
D
D1
C1
B1
A1
A. B. C. D.
4．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，
，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成
的角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知在中，AB=9，AC=15，，它所在平面外一点P到三顶点的距离都是14，那么点P到平面的距离为（ ）
A. 13 B. 11 C. 9 D. 7
A
D
B
A
D1
C1
B1
A1
M
N
6．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ）
A. B.
C. D. 2
7．将，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成的二面角，则MP与NQ间的距离等于( )
A. B. C. D.
8．二面角的平面角为，在内，于B，AB=2,在内，于D，CD=3,BD=1, M是棱上的一个动点，则AM+CM的最小值为( )
A. B. C. D.
9．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为( )
A. B. C. D.
10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
A. B. C. D.
11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在点P，使，则棱AD的长的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
D
C
B
A
E
D1
A1
C1
B1
12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（ ）
A. B. C. D.

二、填空题
1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：
E到平面ABC1D1的距离是；
直线BC与平面ABC1D1所成角等于；
空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成
面积最小值为；
A
B
D
C
P
E
A1
D1
C1
B1
BE与CD1所成的角为
2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1
上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满
足___________时，体积恒为定值（写上
你认为正确的一个答案即可）
3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD
折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到
BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离
为__________.
4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，
AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm
的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条
绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了
_________.
5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
O1
O2
O3
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为 .
（写出所有正确结论的编号）
6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3.
三、解答题
1． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=B1M，又CM⊥AC1;
求证：CM⊥C1D;
求AA1的长.

2． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.
(1) 求F在何处时，EF⊥平面PBC；
(2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
(3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.

3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（1）求证BCSC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的
大小．

4．在直角梯形ABCD中，ÐD=ÐBAD=90°,AD=DC=AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使D到．记面AC为a,面ABC为b．面BC为g．
（1）若二面角a-AC-b为直二面角（如图二），求二面角b-BC-g的大小;
（2）若二面角a-AC-b为60°（如图三），求三棱锥-ABC的体积．

5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM//平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与
BC所成的角是60°．

【参考答案】
一．选择题
1.D 提示：AD在面ACC1A1上的射影应在AC与A1C1中点的连线上，令射影为E，则∠EAD为所求的角.在Rt△EAD中，

2.B 提示：由最小角定理知，最小角为，又异面直线所成角的范围为，最大角为.
3.A 提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D，又此二面角为45°，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.
4.D 提示：由题意，A1在面DCC1D1上的射影应在C1D1延长线E上，且D1E=1，则∠A1CE为所求角，在Rt△AA1C中，

5.D 提示：由P到△ABC三个顶点的距离都是14，知P在底面ABC的射影是△ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：BC=21.由得外接圆半径为，即，在Rt△POB中，
6.D 提示：由题图得

7.B 提示：连结MP、NQ交于O，由四边形MNPQ是菱形得MP⊥NQ于O，将MNQ折起后易得MO⊥QN，OP⊥QN，所以∠MOP=60°，且QN⊥面MOP，过O作OH⊥MP，所以OH⊥QN，从而OH为异面直线MP、QN的公垂线，经计算得
8.C 提示：把半平面展到半平面内,此时,连结AC与棱的交点为M,这时AM+CM取最小值等于AC. (AM+CM)min=
9.B 提示：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.
10.B 提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m，则
11.A 提示：在长方形ABCD中AB边存在P，作，又因为AB=2，由对称性可知，P为AB的中点时，AD最大为1，故选A.
12.D 提示：若BD与平面ABC所成的角为，则，取AC的中点O，则且BO=DO，不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于.
二．填空题
1．②③④ 提示：对于①，由得，，①错.对于②连CB1交BC1于O，则O为C在面ABC1D1上的射影，为所成的线面角，②正确.作图易知③正确，对于④连A1B，则为所成的角，解得，④正确.
2．AB∥CD 提示：，要使体积为定值，则为定值，与E点位置无关，则AB∥CD
3． 提示：作与E，易知，从而，又由，得
，由可解的点到平面的距离为.
4.10cm 提示：MO=NO=30cm，过O作与旋转前的MN平行且相等，所以旋转后AB与平面的距离为，故升高了50-40=10cm.
5．①③④⑤.
6..
三、解答题
1．（1）证明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC中点，则AD⊥面BCC1B1，从而AD⊥MC
又∵CM⊥AC1，则MC和平面ADC1内两相交直线AD，AC1均垂直
∴MC⊥面ADC1，于是MC⊥DC1.
(2)解：在矩形BB1C1C中，由CM⊥DC1
知△DCC1∽△BMC，设BB1=h,则BM=h
∴h:a=
从而所求AA1=
2.解：(Ⅰ)以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则p(0，0，)，A(0，0，0)，B(0，，0)，C(2，，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0)
∵F在PC上，∴可令设F(x，y，z)

∵EF⊥平面PBC，∴且，又，
可得故F为PC的中点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD
∴EF是PC与AD的公垂线段，其长为||=1
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知即为平面BEF的一个法向量而
设BD与平面BEF所成角θ，则：sinθ=cos
∴θ=arcsin.故BD与平面BEF所成角为arcsin
图2
3．（1）证法一：如图，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
图1
由三垂线定理得BC⊥SC．
证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
（2）解：如图2，过点S作直线在面ASD上，
∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，
为面ASD与面BSC的交线．

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角．
∵BD=，SB=，SAD=1．∴
（3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜边SA的中点，
∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂线定理得DM⊥SB．
图3

∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得
MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角．，
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．
4． 解：（1）在直角梯形ABCD中， 由已知DAC为等腰直角三角形，
∴ , 过C作CH⊥AB，由AB=2，
可推得 AC=BC= ∴ AC⊥BC ．取 AC的中点E，连结，
则 ⊥AC 又 ∵ 二面角为直二面角，
∴ ⊥ 又 ∵ 平面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥，而，
∴ BC⊥ ∴ 为二面角的平面角．
由于， ∴二面角为．
（2）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结OE．
∵ AC⊥， ∴ AC⊥ ∴ 为二面角的平面角，
∴ ． 在中，，
∴
5．解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．
在RtΔASB中，
∴∴二面角A—DF—B的大小为60º．
（3）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点．
解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系．
设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴, 又点A、M的坐标分别是,（
∴ =（∴且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF．
（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．
∴为平面DAF的法向量．
∵=（·=0，
∴=（·=0得
，，∴NE为平面BDF的法向量．
∴cos<=∴AB与NE的夹角是60º．即所求二面角A—DF—B的大小是60º．
（3）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）
又∵PF和BC所成的角是60º．∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点．

数学主要是方法和练习，有一定的方法联系起来比较轻松，多练习会收获更好的方法