乐中2011级数学优化探究电子文档函数图象2-8.doc

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授课提示：对应课时作业（十一）
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.（2009年湖南高考）如图，当参数λ=λ1,λ2时，连续函数y=（x≥0）的图象分别对应曲线C1和C2，则（）
A.0＜λ1＜λ2 B.0＜λ2＜λ1
C.λ1＜λ2＜0 D.λ2＜λ1＜0
解析：如果λ＜0，定义域不可能为［0,+∞）,排除C、D
又∵C2的图象在C1的图象的上方，

答案：B
2.（2009年安徽高考）设a＜b,函数y=（x-a）2（x-b）的图象可能是（）

解析：∵x＜b时，y≤0
x＞b时，y＞0，故选C.
答案：C
3.已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g（x）+g（-x）的值为（）
A.2 B.0
C.1 D.不能确定

答案：A
4.函数y=|lg (x-1)|的图象大致是（）

解析：由图象变换知，选C.
答案：C
5.（2010年上海春季高考）已知函数f(x)=的图象关于点P对称，则点P的坐标是()
A.（2,） B.(2, )
C.(2, ) D.(0,0)
解析：设点P为(2,b)，图象上一点（x,y）关于点P的对称点（x0,y0）,

答案：C
6.如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面积（见图中阴影部分）为y，求证函数y=f（t）的大致图形为（）

解析：易知表示图形面积的曲线关于点（1，）对称，故可排除A、B；又阴影部分面积在［0，1］上的增加速度先慢后快，故曲线应先缓后陡；同理在［1，2］上曲线应先陡后缓，应选D.
答案：D
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.对a,b∈R,记max{a,b}= a,a≥b,
b,a{|x+1|,|x-2|},(x∈R)的最小值是_____.
解析：如图所示：函数y=max{|x+1|，|x-2|}的图象为图中实线部分，
∴max{|x+1|，|x-2|}的最小值为.
答案：
8.（2009年上海高考）将函数y= -2（x∈［0,6］）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为_____.
解析：y= -2（x∈［0,6］）（x-3）2+（y+2）2=13.（x∈［0,6］,y≥0）如图所示，原函数图象为以O1为圆心过原点的圆位于x轴上方的弧当其逆时针旋转到与y轴相切时均能表示函数图象
此时旋转角度α满足:tan α=,即α=arctan
答案：arctan
9.定义在R上的函数y=f（x）有反函数，则函数y=f（x+1）+2与y=f-1（x+1）+2的图象关于直线_____对称.
解析：函数y=f（x）与y=f-1（x）关于直线y=x对称，把它们同时先向左平移1个单位再向上平移2个单位得函数y=f（x+1）+2与y=f-1（x+1）+2的图象关于直线y=x+1+2，即y=x+3对称，故填y=x+3
答案：y=x+3
三、解答题(共46分)
10.（15分）（1）已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时，f(m+x)=f(m-x)恒成立求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称.
（2）设a为常数，函数f（x）对一切实数x都满足f（a-x）=-f(a+x),求证函数f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形.
证明：（1）设P（x0,y0）是y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又P点关于x=m的对称点为P′，则P′的坐标为（2m-x0,y0）,由已知f（x+m）=f(m-x),得f(2m-x0)=f［m+(m-x0)］=f［m-(m-x0)］=f(x0)=y0,即P′（2m-x0,y0）在y=f（x）的图象上.
∴y=f（x）的图象关于直线x=m对称.
（2）设M（a+x，f（a+x））是函数f（x）上任一点，则点M关于点（a,0）对称的点为M′（a-x，-f(a+x)）.
∵f(a-x)=-f(a+x),∴M′也在函数f(x)上.
故函数f(x)图象上任一点关于点（a,0）对称的点都在f(x)图象上，即函数f(x)的图象关于点（a,0）成中心对称.
11.（15分）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1,y1），B（x2,y2），且x1＜x2
（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？
（2）若x1∈［a,a+1］,x2∈［b,b+1］，且a,b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a,b的值，并说明理由；
（3）结合函数图象的示意图，判断f（6）,g（6）,f（2 009）,g（2 009）的大小，并按从小到大的顺序排列
解析：（1）C1对应的函数为g（x）=x3，
C2对应的函数为f（x）=2x
（2）a=1,b=9，理由如下
f（1）=2,g（1）=1,∴f（1）＞g（1）
f（2）=4,g（2）=8,∴f（2）＜g（2）
∴x1∈（1,2）,即a=1
f（9）=29=512,g（9）=729；∴f（9）＜g（9）
f（10）=210=1024,g（10）=103=1 000；
∴f（10）＞g（10）
∴x2∈（9,10），即b=9.
（3）从图象上可以看出，x∈（x1,x2）时，f（x）＜g（x）；
∴f（6）＜g（6）
x＞x2时,f（x）＞g（x），∴f（2 009）＞g（2 009）
∴f（6）＜g（6）＜g（2009）＜f（2 009）.
12.（16分）已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解
解析：（1）由已知，设f1（x）=ax2（a≠0），由f1（1）=1得a=1，
∴f1（x）=x2
设f2（x）=（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为A（,），B（-,-），
由|AB|=8，得k=8,∴f2（x）=，故f（x）=x2+
（2）证法一 由f（x）=f（a）得x2+=a2+，
即=-x2+a2+
在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=-x2+a2+的大致图象，其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解
又∵f2（2）=4，
f3（2）=a2+-4，
当a＞3时，
f3（2）-f2（2）=a2+-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点
（2，f3（2））在f2（x）图象的上方
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解.因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解
证法二由f（x）=f（a）得x2+=a2+，
即（x-a）（x+a-）=0，得方程的一个解x1=a
方程x+a-=0，化为ax2+a2x-8=0，
由a＞3,Δ=a4+32a＞0，得