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质量损失函数

日本质量管理学家田口玄一（Taguchi）认为产品质量与质量损失密切相关，质量损失是指产品在整个生命周期的过程中，由于质量不满足规定的要求，对生产者、使用者和社会所造成的全部损失之和。田口用货币单位来对产品质量进行度量，质量损失越大，产品质量越差；反之，质量损失越小，产品质量越好。
一、质量特性
产品质量特性是产品满足用户要求的属性，包括产品性能、寿命、可靠性、安全性、经济性、可维修性和环境适应性等。（与前描述是否一致）
（一）质量特性分类
田口先生为了阐述其原理，对质量特性在一般分类的基础上作了某些调整，分为计量特性和计数特性，如图1所示。
望目特性

望小特性
计量特性
静态特性

望大特性

质量特性

计件特性

动态特性
计数特性

计点特性

图1 质量特性的分类
计数特性请查阅有关书籍，这里主要对计量特性进行描述。
1、望目特性。 设目标值为m，质量特性y围绕目标值m波动，希望波动愈小愈好，则y就被称为望目特性，例如加工某一轴件图纸规定φ10±0.05(mm)，加工的轴件的实际直径尺寸y就是望目特性，其目标值m=10(mm)。
2、望小特性。不取负值，希望质量特性y愈小愈好，波动愈小愈好，则y 被称为望小特性。比如测量误差，合金所含的杂质、轴件的不圆度等就属于望小特性。
3、望大特性。不取负值，希望质量特性y愈大愈好，波动愈小愈好，则y被称为望大特性。比如零件的强度、灯泡的寿命等均为望大特性。
（二）质量特性波动
产品在贮存或使用过程中，随着时间的推移，发生材料老化变质、磨损等现象，引起产品功能的波动，我们称这种产品由于使用环境，时间因素，生产条件等影响，产品质量特性y偏离目标值m，产生波动。引起产品质量特性波动的原因称为干扰源。主要有以下三种类型：
1、外干扰（外噪声）
使用条件和环境条件（如温度，湿度，位置，输入电压，磁场，操作者等）的变化引起产品功能的波动，我们称这种使用条件和环境条件的变化为外干扰，也称为外噪声。
2、内干扰（内噪声）
材料老化现象为内干扰，也称为内噪声。
3、随机干扰（产品间干扰）
在生产制造过程中，由于机器、材料、加工方法、操作者、计测方法和环境（简称5MIE）等生产条件的微小变化，引起产品质量特性的波动，我们称这种在生产制造过程中出现的功能波动为产品间波动。
以电视机电源电路为例，其输出特性的干扰分类及抗干扰性能如1表所示。
二、质量损失函数
干扰引起了产品功能的波动，有波动就会造成质量损失。如何度量由于功能波动所造成的损失，田口先生提出了质量损失函数的概念，它把功能波动与经济损失联系起来。田口先生把产品（或工艺项目）看作一个系统，这个系统的因素分为输入因素（可再分为可控因素X和不可控因素Z）和输出因素（即质量特性或响应）y，如图2所示。系统的设计目标值为m。

干扰
图示
抗干扰性能
外部干扰（温度、湿度、尘埃、输入电压等环境条件波动）
温度
特性
时间
特性
产品号
特性

可靠性
内部干扰（组成电源电路的元件材料老化）

稳定性
随机干扰（元件因“5M1E”影响的波动）

均匀性

图2 传递系统图
田口先生认为系统产生的质量损失是由于质量特性y偏离设计目标值造成的，有偏离，就会有损失。
（一）望目特性的质量损失函数
1、定义
设产品的质量特性为Y，目标值为m。当时，则造成损失，越大，损失越大。相应产品质量特性值Y的损失为L（Y），若L（Y）在Y=m处存在二阶导数，则按泰勒公式有
，设Y=m时，L（Y）=0，即L（m）=0，又因为L（Y）在Y=m时有极小值，所以，再略去二阶以上的高阶项，有
（1.1）
式中是不依赖于Y的常数。我们称（1.1）式表示的函数为质量损失函数，如图3所示。
若有n件产品，其质量特性值分别为则此n件产品的平均质量损失为
（1.2）

图3 质量损失函数
式（1.1）和式（1.2）说明，由于质量特性值波动所造成的损失与偏离目标值m的偏差平方或偏差均方成正比。不仅不合格会造成损失，即使合格品也会造成损失，质量特性值偏离目标值越远，造成的损失越大。这就是田口先生对于产品质量概念的新观点。把这样的二次方程用作质量损失函数，给我们提供了很多重要信息，从图3的曲线可以看出。
第一，质量损失函数如连续的二次函数曲线所示，质量特性仅仅在规范（T）以内并不一定表示产品质量优良，最佳的质量是质量特性稳定在目标值上，波动最小。这就进一步形象地说明了新的质量概念。这种连续的质量损失概念与传统的损失概念不同，传统的损失概念是不连续的阶跃函数，只要质量特性在规定以内任何点，都视为没有损失，一旦超出规范的上下限，就发生损失，如图3中的实线所示。
第二，质量损失是指产品交付用户后造成的损失，它不是制造方由于产品质量缺陷构成的质量成本。虽然田口的质量损失指的是对“社会的损失”，但这种损失最终仍然要影响到设计制造方，形成损失。这种损失可分直接损失和间接损失两种情况，直接损失表现在质量担保（包修、退赔等）费用方面，它与质量成本中的外部损失成本有关。间接损失表现在丢失市场，企业竞争力减弱，所以也可以用田口的质量损失（给社会造成的损失）在一定程度上来度量制造方的损失。
第三，预期（平均）损失E（L）。
由于L（y）是随机变量，通常用L(y)是随机变量，通常用L（y）的数学期望E（L）来表示预期质量损失。其表达式可以写成

（1.3）
从上式可以看出，我们将质量特性波动分解成两部分，要提高产品质量就必须使方差和离差越小越好。传统的设计方法，一般在专业设计（即系统设计）完成之后，即进行容差设计，中间没有参数设计这一过程，若要进行质量改进，因为（方差）已经在专业设计过程决定了，所以一般是不能变的，只能致力于减小离差，也就是说，主要依靠提高工序能力，用提高设备精度来提高产品精度，使加工的尺寸或其他的质量特征尽可能接近目标值。田口先生则认为应同时减小和。一般说来，主要应先通过参数设计减小，虽然难度较大，但潜力也较大，然后再减小（相对容易些）。我们知道随机的干扰因素是产生波动的根源，围绕着随机因素减小和有两种方法。一种是通过更新技术，消除一些随机的干扰因素，也就是说将一些随机因素转换为可控的系统因素，例如在设计中采用高等级的元件和材料等，在制造工艺等条件方面如采用高精度加工设备，对加工温度等加以控制等。显然，这些办法都是以昂贵的投入为代价的，是不经济的，而且往往也是难于行得通的，特别是在经济条件困难的情况下更是一条死胡同。因此，在原系统设计的基础上，通过参数设计寻找对随机因素不敏感的可控因素的水平设置，用提高系统本身的抗干扰能力的方法使功能输出波动减小。这是一种挖掘设计技术潜力的方法，即可提高质量又不会提高甚至还可能降低成本。
2、K的确定方法
（1） 由功能界限和丧失功能的损失求K
所谓功能界限是指判断产品能否正常发挥功能的界限值。
当≤时，产品能正常发挥功能的界限值。
当＞时，产品丧失功能。
设产品丧失功能时给社会带来的损失为元，由式（1.1）得
（1.4）
（2） 由容差和不合格损失A求K
容差是指判断产品合格与否的界限。
当≤时，产品为合格品
当＞时，产品为不合格品
设产品为不合格品时，工厂可采取报废、降级或返修等处理，此时给工厂带来的损失为A元。由式（1.1）得
（1.5）
例1 某电视机电源电路的直流输出电压Y的目标值为m=115V，功能界限=25V，丧失功能的损失为=300元。
a. 求损失函数中的系数K；
b. 已知不合格时的返修费为A=1元，求容差；
c. 若某产品的直流输出电压为Y=112V，此产品该不该投放市场。
解：a. （元 ） 所以损失函数为

b. 由 得

c. 当Y=112V时，相应的损失为
元
若不经返修就投放市场，工厂虽然少花1元返修费，但给用户造成4.23元的损失。
例2 用氧气切割某种装配件共20件，其尺寸与目标尺寸的偏差为（单位：mm）
0.3,0.5,-0.5,-0.2,0,1,1.2,0.8,-0.6,0.9,0,0.2,0.8,1.1,-0.5,-0.2,0,0.3,0.8,1.3
功能界限为=3mm，否则装配不上，由此造成的损失为元，求这批产品的平均质量损失。
解 由公式（1.4）确定系数K

由公式（1.2）求平均质量损失
元
（二）望小特性的质量损失函数
望小特性Y是不取负值，希望Y越小越好且波动越小越好的特性。所以它可看作是以0为目标值，但不能取负值的望目特性。
设Y为望小特性，由望目特性损失函数的式（1.1），令m=0，就得到望小特性的损失函数为
Y＞0 （1.6
式中K为比例常数，
L（Y）的图形如图4所示。

图4 望小特性的损失函数
若有n件产品，测得望小特性值为…，则平均质量损失为
（1.7）
（三）望大特性的质量损失函数
望大特性Y是不取负值，希望Y越大越好，且波动越小越好的特性。望大特性Y的倒数就是望小特性，由望小特性的损失函数式（1.6），可以得到望大特性的损失函数为
（1.8）
式中K为比例常数，K==
L（Y）的图形如图5所示。

图5 望大特性的损失函数
若有那件产品，测得望大特性值为…，，则平均质量损失为
（1.9）
三、SN比
SN比起源于通信领域，作为评价通信设备，线路，信号质量的优良性指标。田口先生将这一概念引伸到了质量工程中，作为评价产品质量特性稳定性的指标。
（一）灵敏度
灵敏度是评价产品质量特性平均值的指标，设产品的质量特性Y为随机变量，其期望值为μ，则μ2称为Y的灵敏度。
1、平均值
设有n个质量特性值Y1，Y2，…Yn，则
（1.10）
称为产品质量特性Y的平均值，是μ的无偏估计
2、灵敏度
灵敏度μ2的估计的计算公式为
（1.11）
其中
（1.12）
（1.13）
的μ2的无偏估计。
在实际计算时，模仿通讯理论取常用对数化为分贝（dB）值，用S表示。
（1.14）
在质量工程学中，将S称为质量特性Y的灵敏度。
（二）望目特性的SN比
田口先生定义的望目特性的SN比
（1.15）
SN比η的估计的计算公式为
（1.16）
在实际计算时，取常用对数化为分贝（dB）值，仍用η表示
（1.17）
在大多数情况下，η近似服从正态分布，因而可用方差分析进行统计分析。
（三）望小特性的SN比
田口先生认为对于望小特性Y，一方面希望Y越小越好，另一方面，希望Y的波动越小越好，因此希望灵敏度μ2和方差σ2均越小越好。所以田口先生定义望小特性的SN比为
（1.18）
η的估计公式为
（1.19）
取常用对数化为分贝（dB）值，则得到望小特性SN的计算公式为
（1.20）
（四）望大特性的SN比
设Y为望大特性，则为望小特性。因此将望小特性SN的估计式（1.19）、式（1.20）中的Yi变换成，可分别得到望大特性SN比的估计公式
（1.21）
（1.22）
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