电磁感应规律的综合应用.doc

学科：物理
教学内容：电磁感应规律的综合应用

【基础知识归纳】
与本章知识有关的综合题主要表现在以下几方面：
1．电磁感应问题与电路问题的综合．电磁感应提供电路中的电源，解决这类电磁感应中的电路问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律如右手定则、法拉第电磁感应定律等；另一方面还要考虑电路中的有关规律，如欧姆定律、串并联电路的性质等，有时可能还会用到力学的知识．
2．电磁感应中切割磁感线的导体要运动，感应电流又要受到安培力的作用，因此，电磁感应问题又往往和力学问题联系在一起，解决电磁感应中的力学问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律；另一方面还要考虑力学中的有关规律，要将电磁学和力学的知识综合起来应用．

【方法解析】
1．电磁感应中的电路分析．在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则该导体或回路就相当于电源．将它们接上电容器可以使电容器充电；将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电．在回路中形成电流．
2．电磁感应中的动力学分析和能量分析
切割磁感线的导体作为一个电磁学研究对象有感应电动势、感应电流、两端电压、电流做功、电阻发热等问题；作为一个力学对象有受力、加速度、动能、能量及其变化等问题；所以电磁感应和力学知识发生联系是必然的．由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律，从而确定状态变化过程中的临界点，求解时注意从动量、能量的观点出发，运用相应的规律进行分析和解答．

【典型例题精讲】
［例1］如图12—3—1所示，光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个灯泡，匀强磁场垂直于导轨所在平面，当ab棒下滑到稳定状态时，小灯泡获得的功率为P0，除灯泡外，其他电阻不计，要使稳定状态灯泡的功率变为2P0，下列措施正确的是

A．换一个电阻为原来一半的灯泡
B．把磁感应强度B增为原来的2倍
C．换一根质量为原来的倍的金属棒
D．把导轨间的距离增大为原来的倍
【解析】 解答这类问题的基本思路是：先求出灯泡功率P与其他量的关系式，然后再讨论各选项是否正确．金属棒在导轨上下滑的过程中，受重力mg、支持力FN和安培力F＝IlB三个力的作用．其中安培力F是磁场对棒ab切割磁感线所产生的感应电流的作用力，它的大小与棒的速度有关．当导体棒下滑到稳定状态时（匀速运动）所受合外力为零，则有mgsinθ＝IlB．此过程小灯泡获得稳定的功率P＝I2R．由上两式可得P＝m2g2Rsin2θ／B2l2．要使灯泡的功率由P0变为2P0，根据上式讨论可得，题目所给的四个选项只有C是正确的．
【思考】 （1）试分析在棒下滑的整个过程中，不同形式的能量是如何转化的?
（2）此题的答案与磁场的方向是否有关?
【思考提示】 （1）棒加速下滑时，它减小的重力势能一部分转化为电能，电能又转化为内能，另一部分转化为棒的动能．棒匀速下滑时，减小的重力势能全部转化为电能，电能又转化为内能．
（2）答案与磁场方向无关（只要导线下滑时切割磁感线即可）．
【设计意图】 通过本例说明电磁感应过程中能量的转化关系，并说明利用能量转化观点分析电磁感应过程的方法．
［例2］水平放置的金属框架abcd，宽度为0.5 m，匀强磁场与框架平面成30°角，如图12—3—2所示，磁感应强度为0.5 T，框架电阻不计，金属杆MN置于框架上可以无摩擦地滑动，MN的质量0.05 kg，电阻0.2 Ω，试求当MN水平匀速运动的速度为多大时，它对框架的压力恰为零，此时水平拉力应为多大？（g取10 m/s2）

【解析】 当金属杆对框架无压力时受力如图12—3—3所示，根据平衡条件得此时水平拉力为

F＝mgtan30°＝0.05×10×N＝0.29 N
安培力大小为
F安＝ ①
MN中产生的感应电动势为
E＝BLvsin30° ②
闭合电路中的感应电流为
I＝ ③
安培力为 F安＝BIL ④
由①②③④解得金属杆匀速运动的速度为
v＝
＝m/s＝3.7 m/s
【说明】 受力分析时要特别注意安培力总跟磁场方向垂直．本题中金属杆运动的方向与磁场方向成30°角，求电动势时要用公式E＝BLvsinθ，但是金属杆却是和磁场方向垂直的，安培力为F安＝BIL，而不是F安＝BILsinθ．
【设计意图】 通过本例说明导体的运动方向与磁场方向不垂直时，感应电动势的计算及电磁感应问题与力学综合问题的分析方法．
［例3］如图12—3—4所示，一个半径为r的铜圆盘可以绕垂直于其盘面的中心轴转动，圆盘所在区域内有方向垂直于盘面的磁感应强度为B的匀强磁场，盘的边缘缠绕着一根细长线，线的一端挂着质量为m的物体A．电阻R的一端与盘的中心相连接，另一端通过滑片与盘的边缘保持良好接触，不计铜盘的电阻，不计摩擦，现由静止释放物体A，铜盘也由静止开始转动，试求铜盘转动时角速度所能达到的最大值．

图12—3—4
【解析】 解答本题的思路有两个．其一，当圆盘角速度达到最大时，圆盘所受合力矩为零，此时安培力的力矩与重力mg的力矩的代数和为零．其二，根据能量守恒定律，当圆盘速度最大时，A物体匀速下降，此时重力势能的减少全部转化为电能，电能又通过R转化为内能，因此重力的功率应等于R的发热功率．不难看出从能量的角度求解更简便．
圆盘转动产生的感应电动势为
E＝Br2ω ①
A下落的速度与圆盘角速度的关系为
v＝ωr ②
A重力的功率等于R的发热功率，即
mgv＝ ③
解①②③得铜盘的最大角速度ω＝
【说明】 电磁感应过程往往涉及多种形式能量的转化，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决该类问题的重要途径．
【设计意图】 通过本例说明利用能量转化和守恒的观点分析解决电磁感应问题的方法．
［例4］如图12—3—5所示，两根相距d＝0.20 m的平行金属长导轨，固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的感应强度B＝0.20 T．导轨上面横放着两根金属细杆，构成矩形回路，每根金属细杆的电阻r＝0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计．已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下，沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v＝5.0 m/s．不计导轨上的摩擦．

（1）求作用于每根金属细杆的拉力的大小；
（2）求两金属杆在间距增加ΔL＝0.40　m的滑动过程中共产生的热量．
【解析】 设匀强磁场方向竖直向上．在两金属杆匀速平移的过程中，等效电路如图12—3—6所示，即两杆可以等效为两个串联的同样的电源（E0）．根据能量转化和守恒定律，当杆匀速运动时，两拉力（F）的机械总功率等于闭合电路的热功率，即
E
P＝2Fv＝
所以，每根金属杆受到的拉力大小为
F＝＝3.2×10－2 N
在两金属杆增加距离ΔL的过程中，产生的热量就等于两拉力所做的功，即
Ｑ＝2FΔL／2＝FΔL＝1.28×10－2 J
【设计意图】 通过本例说明电磁感应规律与电路知识和力学知识综合问题的分析方法．

【达标训练】

【基础练习】
1．如图12—3—7所示，abcd是一闭合的小金属线框，用一根绝缘细杆挂在固定点O，使金属线框绕竖直线OO′来回摆动的过程中穿过水平方向的匀强磁场区域，磁感线方向跟线框平面垂直，若悬点摩擦和空气阻力均不计，则

图12—3—7
①线框进入或离开磁场区域时，都产生感应电流，而且电流的方向相反
②线框进入磁场区域后越靠近OO′线时速度越大，因而产生的感应电流也越大
③线框开始摆动后，摆角会越来越小，摆角小到某一值后将不再减小
④线框摆动过程中，机械能完全转化为线框电路中的电能
以上判断正确的是
A．①③ B．②④
C．①② D．②③
【解析】 线框进入磁场时Φ增大，而离开磁场时Φ减少，完全进入磁场后Φ不变，故①对②错．当摆角小到线框仅在磁场中摆动时，Φ不变．机械能将保持不变．故③对④错．应选A．
【答案】 A
2．如图12—3—8所示，两个互连的金属环，左环电阻为右环电阻的一半，磁场垂直穿过左环所在区域，当磁感应强度随时间均匀增加时，左环内产生感应电动势为E，则右环中感应电流方向为_____a、b两点间的电势差为_______．

图12—3—8
【解析】 由楞次定律可判知右环中感应电流方向为逆时针；设左环电阻为R，则右环电阻为2R，回路中感应电流I＝，由欧姆定律a、b两点电势差为U＝I·2R＝E．
【答案】 逆时针 E
3．如图12—3—9所示，虚线框abcd内为一矩形匀强磁场区域，ab＝2bc，磁场方向垂直于纸面；实线框a′b′c′d′是一正方形导线框，a′b′边与ab边平行．若将导线框匀速地拉离磁场区域，以W1表示沿平行于ab的方向拉出过程中外力所做的功，W2表示以同样速率沿平行于b c的方向拉出过程中外力所做的功，则

图12—3—9
A．W1＝W2 B．W2＝2W1
C．W1＝2W2 D．W2＝4W1
【解析】 沿平行于ab方向拉出线圈过程拉力做的功为
W1＝lab
沿平行于bc方向拉出线圈过程拉力做的功为
W2＝lbc
故 W2＝2W1
【答案】 B
4．如图12—3—10所示，矩形线圈一边长为d，另一边长为a，电阻为R，当它以速度v匀速穿过宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场过程中：若L＜d，产生的电能为______，若L＞d，产生的电能为_______．

图12—3—10
【解析】 L＜d时，产生电能的时间为．而L＞d时，时间为．
【答案】 ；

5．如图12—3—11，AB、CD是固定的水平放置的足够长U形金属导轨，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放一金属棒ab，给ab一个水平向右的冲量，使它以初速度v0运动起来，最后静止在导轨上，在导轨是光滑和粗糙两种情况下

图12—3—11
A．安培力对ab所做的功相等
B．电流通过整个回路做功相等
C．整个回路产生的热量相等
D．到停止运动时，两种情况棒运动距离相等
【解析】 无论导轨光滑还是粗糙，金属棒原来的动能全部转化为内能，故整个回路产生的热量相等，导轨粗糙时棒运动的距离小．
【答案】 C
6．用同样粗细的铜、铝、铁做成三根相同长度的直导线，分别放在电阻可以忽略不计的光滑水平导轨AB、CD上，如图12—3—12所示，使导线与导轨保持垂直，设竖直方向的匀强磁场垂直于导轨平面，且充满导轨所在空间，然后用外力使导线向右做匀速直线运动，且每次外力消耗的功率均相同，则

图12—3—12
①铜导线运动速度最大
②铁导线运动速度最大
③三根导线上产生的感应电动势相同
④在相等的时间内，它们产生的热量相等
以上判断正确的是
A．①④ B．②④
C．③④ D．只有③
【解析】 P＝，即有P＝
v＝，
R＝ρ，故v∝．
E＝Blv∝．
Ｑ＝Pt相同
【答案】 B

【能力突破】
7．如图12—3—13所示，在平行于地面的匀强磁场上方，有两个用相同金属材料制成的边长相同的正方形线圈a、b，其中a的导线比b粗，它们从同一高度自由落下，则

图12—3—13
A．它们同时落地 B．a先落地
C．b先落地 D．无法判断
【解析】 两线圈a、b从同一高度自由落下，进入磁场时速度相同，设该速度为v，此时的加速度设为a，由牛顿第二定律得
mg－＝ma a＝g－
由于两线圈边长相同，仅导线横截面积S不同，而m∝S，R∝ ，故mR与S无关，所以a相同，从而可判断进入磁场的过程中和进入磁场后的各个时刻a、b两线圈的速度和加速度均相同，故它们同时落地，A正确．
【答案】 A
8．如图12—3—14所示，两根固定在水平面上的光滑的平行金属导轨，相距为d，一端接有阻值为R的电阻，在导轨上放一金属直杆，金属杆与电阻相距L，金属杆用一根水平细线通过定滑轮跟重为G的重物相连，金属杆上作用一个水平力F，使金属杆处于静止．除了电阻R之外的其他电阻都可不计．若在金属导轨区域加一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间增大的规律为B＝kt，为了使金属杆在导轨上保持静止，求水平力F（以向左为正方向）随时间变化的规律．

图12—3—14
【解析】 欲使杆静止则所受合力为零，得力的平衡方程：F＋F安＋Ｇ＝0，又以向左为正方向，则有F＝Ｇ－F安，又F安＝BId＝ktId，其中感应电流I＝，代入可得：F＝Ｇ－
【答案】 F＝Ｇ－
9．如图12—3—15所示，竖直平行导轨间距L＝20 cm，导轨顶端接有一电键K．导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R＝0.4 Ω，质量m＝10g，导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T．当ab棒由静止释放0.8 s后，突然接通电键，不计空气阻力，设导轨足够长．求ab棒的最大速度和最终速度的大小．（g取10 m/s2）

图12—3—15
【解析】 ab棒由静止开始自由下落0.8 s时速度大小为v＝gt＝8 m/s
则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小I＝Blv/R＝4 A
ab棒受重力mg＝0.1 N
因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动，产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小，当安培力F＝mg时，开始做匀速直线运动．此时满足＝mg
解得最终速度v′＝mgR/B2l2＝1 m/s．
闭合电键时速度最大为8 m/s．
【答案】 8 m/s；1 m/s
10．有一种磁性加热装置，其关键部分由焊接在两个等大的金属圆环上的n根间距相等的平行金属条组成，成“鼠笼”状，如图12—3—16所示．每根金属条的长度为l，电阻为R，金属环的直径为D、电阻不计．图中虚线所示的空间范围内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的宽度恰好等于“鼠笼”金属条的间距．当金属环以角速度ω绕过两圆环的圆心的轴 OO′转动时，始终有一根金属条在垂直切割磁感线．“鼠笼”的转动由一台电动机带动，这套设备的效率为η，求电动机输出的机械功率．

图12—3—16
【解析】 处于磁场中的金属条切割磁感线的线速度为v＝ω
产生的感应电动势为E＝Blv＝Blω
通过切割磁感线的金属条的电流为I＝
磁场中导体受到的安培力为F＝BIl
克服安培力做功的功率为P安＝Fv＝
电动机输出的机械功率为P＝P安／η
联立以上各式解出P＝
【答案】
11．如图12—3—17所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽l＝0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B＝1 T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100 g，电阻为1 Ω．现让MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为2 C，求此过程中回路产生的电能．（空气阻力不计，g＝10 m/s2）

图12—3—17
【解析】 金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得
mg＝ ①
在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得
mgh＝mvm2＋E ②
通过导体某一横截面的电量为
q＝ ③
由①②③解得
E＝mgh－mvm2＝＝J－J＝3.2 J
【答案】 3.2 J
12．如图12—3—18所示，电动机牵引一根原来静止的长L为1 m、质量m为0.1 kg的导体棒MN，其电阻R为1 Ω．导体棒架在处于磁感应强度B为1 T、竖直放置的框架上，当导体棒上升h为3.8 m时获得稳定的速度，导体产生的热量为2 J．电动机牵引棒时，电压表、电流表的读数分别为7 V、1 A．电动机内阻r为1 Ω，不计框架电阻及一切摩擦，g取10 m/s2，求：

图12—3—18
（1）棒能达到的稳定速度?
（2）棒从静止到达到稳定速度所需的时间?
【解析】 （1）（mg＋）vm＝IU－I2r，vm＝2m/s（vm＝－3 m/s舍去）
（2）（IU－I2r）t＝mgh＋mvm2＋Ｑ，t＝1 s
【答案】 （1）2 m/s （2）1 s
13．如图12—3—19所示，一个由金属导轨组成的回路，竖直放在宽广的水平匀强磁场中，磁场垂直于该回路所在的平面，方向向外，AC导体可紧贴光滑竖直导轨自由上下滑动，导轨足够长，回路总电阻R保持不变，当AC由静止释放后

图12—3—19
①导体AC的加速度将达到一个与阻值R成反比的极限值
②导体AC的速度将达到一个与R成正比的极限值
③回路中的电流将达到一个与R成反比的极限值
④回路中的电功率将达到一个与R成正比的极限值
以上判断正确的是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【解析】 匀速运动时v→vm，此时有mg＝BIL＝得vm＝R，P＝R．
【答案】 B
14．光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图12—3—20所示，抛物线的方程是y＝x2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线（图中的虚线所示）．一个小金属块从抛物线上y＝b（b＞a）处以速度v沿抛物线下滑．假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是

图12—3—20
A．mgb B．mv2
C．mg（b－a） D．mg（b－a）＋ mv2
【解析】 最终小金属块在y＝a的位置（不超出该位置）为边界的以下范围振动，
由释放到最后振动，能量守恒，
Ｑ＝mv2＋mg（b－a）
【答案】 Ｄ
15．如图12—3—21所示，光滑平行导轨仅其水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，一根质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一根质量为m的金属杆ab从斜轨道上高为h处由静止开始下滑，运动中两根杆始终与轨道垂直且接触良好，两杆之间未发生碰撞．若导电轨道有足够的长度，在两根金属杆与导电轨道组成的回路中所产生的热量是_______．

图12—3—21
【解析】 当ab进入水平轨道时速度为v0，则v0＝；最后ab和cd的速度相同，此时不再产生感应电流，由动量守恒定律可知此时共同的速度为：mv0＝mv′＋2mv′得v′＝v0，故由能量守恒得
mgh＝mv′2＋（2m）v′2＋Q，则Ｑ＝mgh．
【答案】 mgh