广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学（理）试题.doc

惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数 的共轭复数是（ ）ABC D2已知向量，且，则的值为（ ）A B C D 3已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）A B C D4已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）A B C2 D25“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）A19、13 B13、19 C20、18 D18、207已知满足约束条件的最小值为（ ）A B C D8数列 中，则数列前项和等于（ ）A76 B78 C 80 D82二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9在等比数列中，公比，若前项和，则的值为 10阅读右图程序框图 若输入，则输出的值为_11已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 12已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的有 ； 13已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，绕点逆时针旋转到，则的长为 15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数（其中，），且函数的图像关于直线对称（1）求的值；（2）若，求的值。17（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，后得到如下图的频率分布直方图（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率。18（本小题满分14分）如图，在长方体中，点在棱上移动 （1）证明：；（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为？19（本小题满分14分）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为， 数列的首项为，且前项和满足:=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的通项，求数列的前项和；（3）若数列前项和为，问的最小正整数是多少?20（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值21（本小题满分14分）已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。惠州市2013届高三第三次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案DB CACABB1【解析】故选D2【解析】故选B3【解析】或故选D4【解析】由设，图象过点得，故选A5【解析】，即故选C6【解析】甲中位数为19，甲中位数为13故选A7【解析】最优解为故选B8【解析】，取及，结果相加可得故选B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题97 103 11 12 13 14 1539【解析】答案：10【解析】答案：311【解析】抛线线的焦点答案：12【解析】均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故不正确；m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行；正确 答案13【解析】，是增函数，所以答案：（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14【解析】PA切于点A，B为PO中点，AB=OB=OA， ，在POD中由余弦定理，得：= 解析2：过点D作DEPC垂足为E，可得，在中，答案：15【解析】、的极坐标分别为，则（其中为极点）答案3三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（1）解：，2分函数的最小正周期为3分函数，5分又的图像的对称轴为（），6分令，将代入，得（），7分（2）解：，9分12分17（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1分解得2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人， 6分成绩在分数段内的人数为人， 7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10 10分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 11分 所以所求概率为13分 18（本小题满分14分）（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中， 4分（2）解：， 6分，设点到平面的距离为，点到平面的距离为 8分（3）解：过作交于，连接由三垂线定理可知，为二面角的平面角， 10分， 12分，故时，二面角的平面角为 14分19（本小题满分14分） 解：（1）， ， .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ；2分 又， ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；又其满足， ()； 5分（2），所以 式减式得： 7分化简： 9分所以所求 10分（3） 12分 ； 13分 由得，满足的最小正整数为112. 14分20（本小题满分14分）解：（1）由题设知，1分由，得，3分解得所以椭圆的方程为4分（2）方法1：设圆的圆心为，则 6分 7分8分从而求的最大值转化为求的最大值9分因为是椭圆上的任意一点，设，10分所以，即11分因为点，所以12分因为，所以当时，取得最大值1213分所以的最大值为1114分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以 6分所以7分 9分因为点在圆上，所以，即10分因为点在椭圆上，所以，即11分所以12分因为，所以当时，14分方法3：若直线的斜率存在，设的方程为，6分由，解得7分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即8分所以， 9分所以 10分因为，所以当时，取得最大值1111分若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或不妨设， 12分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即所以，所以 因为，所以当时，取得最大值1113分综上可知，的最大值为1114分21（本小题满分14分）解：（1）1分因为为的极值点，所以2分即，解得 3分又当时，从而的极值点成立 4分（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立5分当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意6分当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立 7分令，其对称轴为， 8分因为所以，从而上恒成立，只要即可，因为，解得 9分因为，所以综上所述，的取值范围为 10分（3）若时，方程可化为，问题转化为在上有解，即求函数的值域 11分以下给出两种求函数值域的方法：方法1：因为，令，则， 12分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数， 13分 因此而，故， 因此当时，取得最大值0 14分方法2：因为，所以设，则当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为，当，则，又 因此当时，取得最大值0 14分