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[初中数学论文]
学生的疑问是授课最亮的镜子
—— 一堂复习课引出的反思
在信息不断膨胀的今天，我们经常有机会接触到与“平均”有关的信息。由于平均值具有总结大量数据的简便效用，因此屡见于报纸与其他传播媒介的报道上。
初中数学的新课程改革也给“平均”特别的关注，在很多地区的中考试卷中都有所呈现。于是，我准备了这样一题，作为课堂讲解：
近年来，某市养鸡业在抗击“禽流感”的过程中逐渐成熟起来，一批技术水平低的养鸡场被淘汰，而技术含量高的养鸡场的规模不断扩大。甲、乙两人连续7年调查该市养鸡业的情况，提供了两方面的信息图（如图）。

甲调查表明：养鸡场的平均产鸡数从第1年的1.5万只上升到第7年的4.5万只；
乙调查表明：养鸡场的个数由第1年的46个减少到第7年的22个。
（1） 求第6、7两年养鸡场的平均产鸡数的年平均增长率（精确到1﹪）；
（2） 设该市第x年的总产鸡数为y万只，求y与x函数关系式；并求出这7年中，该市哪一年的总产鸡数最多？达到多少万只？
这是一道基础题，考察学生一元二次方程的应用能力和应用函数解决实际问题的能力。在实际教学中，学生讨论声渐起，很多学生眉头紧皱，抓住这一个细节，鼓励学生提出异议。
学生提出：在第（一）小题中如果问两年平均年增长率，可直接用一元二次方程解决，但是题中第6、7两年的平均增长率似乎要求出的两年增长率的平均数。
老师问：你们偏向于哪一种？
学生答：后者。
我愕然，看似简单的题目，学生却有这么大的疑问。于是我和学生进行了讨论。
首先，引用华东师范大学出版的数学九年级（上）《一元二次方程》 中的例题：
问题2 ：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。求这两年的年平均增长率。
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书是5（1+x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）（1+x）=5（1+x）²万册。
可列得方程：5（1+x²=7.2
学生指出：如果直接是考察两年的年平均增长率就可以应用书本的知识解决这个问题，但是“这两年的年平均增长率”与“第6、7两年的年平均增长率”在文字上有所区别。这是疑问一
学生又提出：在这个例题中，分别计算出两年的增长率，再求得的两个数的平均值和应用一元二次方程的解相同，这两种方法是否可以统一起来。这是疑问二。
针对于第二个疑问，我举了几个例子，如果第5年2万只，第六年3万只，第7年4万只，那么年平均增长率是41.4﹪，每年增长率的平均数是41.5﹪；第5年1万只，第六年2万只，第7年10万只，那么年平均增长率是216﹪，每年增长率的平均数是500﹪…经过举例论证，发现两者答案截然不同，数据相差越大得到的解差距越多。
哪么这个年平均增长率到底指的是什么呢？问题提出来了，怎么办？是简单的一句话带过，还是给学生说明白及如何才能说明白？而此时，已到了下课时间，我只能把此问题留在课后，我表扬了提出疑问的同学，他们用心思考了这个问题，并敢于提出疑议，更可贵的是：他们想到用不同的方法解决实际问题。我要求下一节课再共同来探讨这个问题，请同学们课后先思考。
课是结束了，而留下了新的疑问，这个疑问似乎不能用初中的知识来解决。那么如何解决呢？课后，我就此问题和同组老师们进行了讨论，并查阅了资料，得到了这样的信息：统计几何平均数指标，是指社会经济现象的同质总体在时间上变动速度的平均数。换言之，就是统计总体在一段时期内的平均发展速度。其计算公式为：
简单几何平均数：
“几何平均数”是高中的范畴，那么这个问题需不需要讲解，又如何讲解学生能够理解呢？我陷入了沉思。新的课标要求：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在教学活动中，教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。
因此，我认为：
1.应遵循学生学习数学的心理规律，不能打击学生发现问题并提出问题的积极性。
2.鼓励学生提出疑议，使提出问题的学生有一种自豪感，通过此问题要进一步培养学生学习数学的兴趣和发现问题并提出问题的积极性。
考虑再三，我决定就这个概念进行讲解。第二节课，重提上节课的疑问，有位同学举手作答：两年的基数不同，年平均增长率不能用两数平均值来解决。我大大表扬了这位同学，顺势提出了几何平均数的概念，并解释上节课的疑问。第5年3.5万只上升到第7年的4.5万只，几何平均数约3.97，由此得到平均增长率约13.4﹪，和用一元二次方程解的结果相符。学生这才释然。课后，我感触颇深。学生上课时的疑问是我授课最亮的镜子，直接反射出我自己不成熟的一面，虽然教师在备课时也备了学生，但是不够充分。就例题而讲例题，却对于“年平均增长率”这个新名词，没有完全弄明白真正的概念和用途，没有了解事物的本质，犯了教条主义错误。学生在这堂复习课中存在的迷惑，是我在讲授新课时留下的定时炸弹，导致课堂上差一点失控。
但是我又庆幸，因为正视了这面镜子，才在第二节课有了适当的弥补。
二、探究此问题的教学反思：
1.内容安排的科学性
本节课所探讨的学生的问题不在考试范围之列，从应试教育的角度来说，探讨这个问题是多余的，因为“几何平均数”不属于初中教学范畴，是高中的内容。而从素质教育的角度来说，我认为是必要的，从课堂上学生的反应来说是成功的，是符合新课程改革理念的。通过此问题的探究，不仅使孩子们学到了知识，开阔了视野，而且使他们提高了学习数学的兴趣，本节课所探讨的问题，不仅使提出问题的学生有一种成就感，享受到“数学”成功的乐趣，增强了学习的信心，提高了学习数学的兴趣。产生学习的根本原因是问题，没有问题也就难以诱发和激起求知欲，没有问题，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考，那么学习也就只能是表层和形式的。
通过对提出本节课所探讨的问题的同学的表扬和鼓励，使学生在今后的学习中敢于和善于提出问题，“几何平均数”概念的引进，为中学数学后继性学习开拓了一条道路生长出了新思想、新方法、新知识的种子。
2.教学相长
新课程强调，教学是教与学的交往、互动，师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充、相互促进的过程，在这个过程中教师与学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达到共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。学生的疑问是老师最亮的镜子，只有重视这面镜子，解决课堂上学生提出的问题，才能使自己在教学观念、新课程的理解、扩大知识面等多方面都得到提高。

参考文献：
1.《数学课程标准》（实验稿），北京师范大学出版社；
2.《走进新课程——与课程实施者对话》，北京师范大学出版社。
3. 《全日制普通高级中学教材》（代数）第二册（上）第六章第二节 算术平均数与几何平均数

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