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微分方程应用题1 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析：例12 将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。分析：例23翻译；建立瞬时表达式；配备物理单位；叙述给定的条件；写出清楚的框架。净变化率输入率一输出率主要步骤4 某人的食量是2500 cal天，其中1200 cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。分析：输入率=2500 cal天 输出率=健身训练16 cal/kg/天体重w (kg)+新陈代谢1200 cal 天例35 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?分析：例46 设 p(t)表示一种给定物种在时刻 t 的总数，r(t,p)表示该物种出生率和死亡率之差。如果这个群体是孤立的即不出现净迁出或迁入那么总数的变化率 dp/dt 就等于 r(t,p)p在大多数简化了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数而变。于是 如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题这个初值问题的解是人口预测7 月数 0 2 6 l0观察到的P 2 5 20 109计算出的P 2 4.5 22 109.1观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长群体总数的40%，啮齿动物的增长8YearPopulationGrowth rate19502,555,360,972 1.47 19512,593,139,857 1.61 19522,635,192,901 1.71 19532,680,522,529 1.77 19542,728,486,476 1.87 19552,779,929,940 1.89 19562,832,880,780 1.95 19572,888,699,042 1.94 19582,945,196,478 1.76 19592,997,522,100 1.39 19603,039,585,530 1.33 19613,080,367,474 1.80 19623,136,451,432 2.19 19633,205,956,565 2.19 19643,277,024,728 2.08 19653,346,002,675 2.08 19663,416,184,968 2.02 19673,485,881,292 2.04 19683,557,690,668 2.08 19693,632,294,522 2.05 19703,707,475,887 2.07 1950-1970年人口及增长率91950-1970年人口101950-1970年增长率111961年地球上的人口总数为3.06109 而在以后的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。17001961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。预测 25l0年：2,000,000亿；2635年：18,000,000亿；2670年：36,000,000亿。1961年人口预测1219713,784,957,162 2.00 19723,861,537,222 1.95 19733,937,599,035 1.90 19744,013,016,398 1.81 19754,086,150,193 1.74 19764,157,827,615 1.72 19774,229,922,943 1.69 19784,301,953,661 1.73 19794,376,897,872 1.71 19804,452,584,592 1.69 19814,528,511,458 1.75 19824,608,410,617 1.75 19834,689,840,421 1.69 19844,769,886,824 1.70 19854,851,592,622 1.70 19864,934,892,988 1.73 19875,020,809,215 1.71 19885,107,404,183 1.68 19895,194,105,912 1.67 19905,281,653,820 1.57 1971-1990年人口及增长率1319915,365,480,276 1.55 19925,449,369,636 1.49 19935,531,014,635 1.44 19945,611,269,983 1.42 19955,691,759,210 1.38 19965,770,701,020 1.36 19975,849,885,301 1.32 19985,927,556,529 1.28 19996,004,170,056 1.25 20006,079,603,571 1.21 20016,153,801,961 1.18 20026,226,933,918 1.16 20036,299,763,405 1.15 20046,372,797,742 1.14 1991-2004年人口及增长率141951-2004人口151951-2004增长率16YearPopulationGrowth rate19512,593,139,857 1.61 19562,832,880,780 1.95 19613,080,367,474 1.80 19663,416,184,968 2.02 19713,784,957,162 2.00 19764,157,827,615 1.72 19814,528,511,458 1.75 19864,934,892,988 1.73 19915,365,480,276 1.55 19965,770,701,020 1.36 20016,153,801,961 1.18 简化数据表YearPopulationGrowth rate19713,784,957,162 2.00 19814,528,511,458 1.75 19915,365,480,276 1.55 20016,153,801,961 1.18 17简化图像18当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。逻辑律19 数学生物学家GFGause对草履虫做了一个实验：把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量共持续六天。结果发现，当数量不大时这种草履虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律 dp/dtap-bp2增长，那么a2.309，b2.309/375；因此，逻辑律预测草履虫实验202024/3/6 周三21模型求解22 某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029我们还知道，当人口总数为(3.06)109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)a-bp，我们看到 0.02a-b(3.06)109因此，b294110-12这样，根据群体增长的逻辑律地球上的人类人口将趋于极限值常数估算23预测人口24预测增长率25 证明对于是正的。2、选择三个时间 ，且证明根据 可以唯一确定3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000(lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h 后群体总数将是多少。a)108 b)1091、26 在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt0.003p(t)其小t以分钟度量。在t0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。a)修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。b)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t 时会发生什么情况?5、27 如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量）a)修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市迁出，有4000人被杀这些因素。b)假设1970年纽约城的人口为8,000,000，求出在未来任意时刻的人口。t 时会发生什么情况？6、28 假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它的模型。设该群体最初受逻辑律控制，并且一旦p达到某个小于极限总数a/b的特定值Q，流行病便开始传播。在此阶段中生命系数Aa，Bb，且(1)被7、29所代替。假设QA/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值qA/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。a)证明当p从q增加到Q时，周期的第一部分T1为b)证明当p从Q减倒到q时，周期的第二部分T2为30 据观察每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。a)在这些假设下证明b)设T1近似地为4yQ/q近似地为50证明a近似地为1，顺便说一下，a 的这个值非常符合老鼠在自然环境中的繁殖率。8、31 早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车不管已扫过的路面）分析：设单位面积上单位时间降雪量为a(km/h)，路面宽度为b(km)，扫雪速度为c(km3/h)，路面上雪层厚度为H(t)(km)，扫雪车前进路程为s(t)(km)，降雪开始时间为T例6、32 在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内搅拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶内。再将混合掖搅拌均匀然后用1升/min的速度输出。在任意时刻t0，从第二只桶流出的水中含多少盐？分析：例7、33 在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及会合前所经过的路程。分析：例8、341、根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例。如果空气的温度是20且沸腾的水在20min内冷却到60。那么水温降到30需多长时间?2、一滴球形雨滴，以与它表面积成正比的速度蒸发。求其体积V关于时间的t的函数式。353、在进入供水系统之前，对原污水进行处理。可减少谁的污染。一种常用的处理方法是使用一只活化污泥交换箱，在交换箱内装有一种浓度为c的活性污泥。把污染度c1的原污水灌入箱内，细菌将消化掉一部分污物。剩下的较清洁的混合物别被注入一只贮水器中。按规定排出物的污染度不得超过安全标准，如0.3c1，故我们的问题是求出达到安全标准的时间。实际上。到那时(t)，可以把原污水引入一个交换箱中。而原箱内的活性污泥经交换处理后污染度由c降至一个适当的最低度c0。假定每分钟输进交换箱的污水为r1gal，而排出的水为r2gal，在t=0时，交换箱内有V0gal的污水，其中含有z0污染物。建立一个数学问题以求出何时应该对交换箱实行分流。36374、如果一笔存款连同连续复利一道计算在16年内翻了一番，问利率是多少?5、某学院的教育基金，最初投资是P，以后按利率为r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的周年日都要加上新的资本，速率为A/yr。求七年的累积金额。386、污染物质的含量为2oz/gal的水以500ga1/min的速度流过处理箱。在箱内，每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底搅匀。处理箱可容纳10,000 gal的水。在处理厂开张那天，箱内装满了净水。求流出的水中污染物浓度的函数。7、一只底部开口面积为0.5cm2的圆锥形漏斗高为l0cm、顶角=600，其内装满水。水流完需多长时间?39练习8中的模型有一个不足之处，它假设体内液体的体积为常量。然而，由于人体含有大约4600ml的血液，输入500ml的葡萄糖溶液后，体积的变化是不容忽视的。如何修正这个模型，使其能够反映体积变化？即如何修改微分方程？这会影响平衡值的答案吗？如何影响？这个模型的局限性是什么？409、在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的浓度成比例。转换A的一半用了20min。把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图像。412024/3/6 周三42