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数学高考综合能力题选讲14
立体几何中的有关计算
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．
范例选讲
例1 长方体中，，，是侧棱中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积．
讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线．不难发现，正为所求．
由长方体知：，又，所以，．
在矩形中
2、为中点且，，所以，，所以，为等腰直角三角形，．
所以，面．
所以，就是直线与平面所成的角，为．
（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．
注意到，所以，面，所以，只需在内过点作于F，则面．
过作于G，连EG，则就是二面角的平面角．
在中，，
所以，．
在中，．
在中，．
所以，二面角的平面角的大小为．
（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面的距离EF．所以，
．
另一方面，也可以利用等积转化．
因为，所以，．所以，点A到平的距离就等于点到平的距离．所以，
3、
．
点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．
例2 如图：三棱台中，侧棱⊥底面，，，，直线与所成的角等于60°．
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离．
讲解 无论从已知（直线与所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角）的角度，过作的平行线都是当然之举．
在平面中，过作交于点，连接，则就是直线与所成的角．所以，．
又因为⊥底面，所以，⊥底面．
在平面内过点作于，连，则，所以，就是二面角的平面角．
在中，．
在Rt中，．
在Rt中，．
在Rt中，．
所以，
4、二面角的平面角的大小为：．
（2）由为中点，故点B到平面的距离等于点D到平面的距离的2倍，作于H．由（1）知，所以，，所以，，所以，就是点D到平面的距离．
在Rt中，．
所以，点B到平面的距离等于．
另外，我们也可以用体积法求出这个距离．
设点B到平面的距离为．则由及
，
可得：
．
所以，点B到平面的距离等于．
点评 等积变形是求体积和求距离时常用的方法．
高考真题
1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC－A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC垂直,∠ABC＝,BC＝2,AC＝且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.
①求侧棱AA'
5、与底面ABC所成角的大小;
②求侧面A'ABB'与底面ABC所成二面角的大小;
③求顶点C到侧面A'ABB'的距离.
2．（1999年全国高考）如图,已知四棱柱ABCD－A'B'C'D',点E在棱D'D上,截面EAC∥D'B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB＝a
(1)求截面EAC的面积；
(2)求异面直线A'B'与AC之间的距离；
S
B C
A D
(3)求三棱锥B'－EAC的体积．
3．(2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.
（1） 求四棱锥S-ABCD的体积；
（2） 求面SCD与面SBA所成的二面角的平面角的正切值．
[答案与提示：1．；；． 2．；；． 3．． ]
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