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如何研究圆锥曲线离心率的问题
南京市第一中学（210001） 孔凡海
在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与曲线问题，方程组与不等式的求解问题，等等，所以相对比较复杂，学生常常感到难以下手，不好把握。下面就通过近年的一些高考题和模拟题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法。
1．求圆锥曲线离心率的值
例1．（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
分
2、析：如图，，与圆O相切，由于切线，互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，，这样就得到一个关于基本量，的齐次方程，从而求解出比值的值。
解：由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以，所以，解出
，即
例2．（2010南通二模）A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴垂直，若，则双曲线C的离心率= 。
分析：直线l的任意性，取特殊情况，例如，这样可以得到结果。当然我们应用多项式恒等于0，可以得到对应的系数为0，从而得到一个关于基本量的方程，再解出比值的值。
解：不妨设双曲线C的方程，则，，
根据已知条件，设，，所以，，
由，得，又，所以
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即恒成立，所以，得，所以，
所以，从而。
2．求圆锥曲线离心率的取值范围
例3．（2010四川）椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 ．
分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，。如果我们考虑几何的大小，易知不超过，得到一个关于基本量，，，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设椭圆上的点，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率的范围。
解法1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，
而，，
所
4、以，所以。
又，所以，所以，
即，又，所以
解法2：设点。由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，由椭圆第二定义，，所以，
而，，
所以，解出，
由于，所以，又，所以，
即，又，所以
例4．（2009重庆理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
分析：由正弦定理，所以，又根据双曲线的定义，，所以易得到，。因为，所以P点在
双曲线的右半支上，如果我们考虑几何的大小，易知，得到一个关于基本量，，，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设双曲线上的点，注意到双曲线本身的范围，也
5、可以求出离心率的范围。
解法1：在中，由正弦定理得，，所以，又根据双曲线的定义，，所以易得到，，
由已知，，所以点P在双曲线的右支上，所以，
所以，，因为，所以，所以。
解法2：设点。由双曲线第二定义，，，所以，，，又，所以，。
在中，由正弦定理得，，所以，则，
所以，由已知，，所以点P在双曲线的右支上，
所以，，因为，所以，所以。
例5．（2010南京三模）已知椭圆的焦点分别为，，若该椭圆上存在一点P，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当当P为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F
6、1PF2≤∠F1 B1F2．（或），此时离心率，当椭圆比此时更圆，则就不存在点P，使得了，根据条件可得∠F1 B1F2≥60°，易得≥，故≤e＜1。；如果我们考虑，通过设椭圆点，利用椭圆本身的范围，也可以求出该椭圆离心率的取值范围。
解法1：首先证明，在三角形中，由余弦定理，
当且仅当时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点（或）重合时最大。余同分析。
解法2：设点。由椭圆第二定义，，，所以，，，又，所以，，在三角形中，由余弦定理，，
代入并整理得，而，所以，，又，所以。
3．总结：
（1）．圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的
7、取值范围。
（2）．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量，，，的一个方程，就可以从中求出离心率。
（3）．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从三个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围。
（4）．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关。在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围；在抛物线中，离心率。
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