1、第四节第四节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用1.基础梳理基础梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2+b2 (a,bR).(2)(a,b同号).(3)ab (a,bR).a0,b0 a=b 2ab 2 2.x=y 最小 x=y 最大3.利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有 值是 .(简记:积定和最小)（2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当 时,xy有 值是 .(简记:和定积最大)基础达标基础达标1.（教材改编题）函数y=x2+(x0)的最小值是 .解
2、析：x20,y=x2+2 =4,当且仅当x2=即x=时取等号.2.（教材改编题）已知x,yR+,且xy-(x+y)=3,则xy的最小值为 .3.解析：x,yR+,xy-(x+y)=3,x+y=xy-32 ,即xy-2 -30,(-3)(+1)0,-30,xy9.（当x=y=3时取等号）3.（2010重庆）已知t0,则函数y=的最小值为 .解析：当且仅当t=，即t=1时等号成立.4.（2011惠州模拟）某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t30)的关系大致满足f(t)=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为 ）的月饼量最少为（）A.18 B.27 C.2
3、0 D.164.解析：平均销售量，当且仅当t=，即t=4（0,30等号成立，即平均销售量的最小值为18,故选A.经典例题经典例题题型一题型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【例1】（1）（2010浙江改编）若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值;（2）（2010四川）设ab0，则a2+的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4分析：（1）可利用基本不等式构造出关于xy的不等式，解出xy的范围5.解：(1)因为x,y为正实数，所以xy=2x+y+62 +6，令 =t，可得t2-2 t-60，注意到t0，解得t3 ,故xy的最小值为18.（2）a2+=a2-ab+ab+=
4、ab+a(a-b)+2+2=4.当且仅当 即a=2，b=时，等号成立.故选D.变式变式1-11-1已知x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.解：x0,y0,且x+y=1,当且仅当 ,即x=2y时等号成立，当x=,y=时，8x+2y有最小值18.6.题型二题型二 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式【例2】(2011泰兴模拟)已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，求证：分析：证明本题应灵活运用条件abc=1.证明：方法一：a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，又a、b、c不全相等，7.方法二：a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，原不等式成立.题型三题型三 基本不等
5、式的实际应用基本不等式的实际应用【例3】如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10 000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？并求出此时的占地面积.分析：设池塘的长为x米，则池塘的宽为y=米，建立占地总面积S与x的函数关系，通过求函数的最值来确定x的取值 8.解：设池塘的长为x米时占地总面积为S，可得池塘的宽为y=米，所以S=（6+x）（+6）（x0），整理得当且仅当 =6x，x2=20000，即x=100（米）时取等号，此时y=（米），Smin=+20036.答：每个池塘的长为100 米，宽为50
6、 米时占地总面积最小,最小面积为1200 +20036.变式变式3-13-1某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为 x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？9.解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H.则x=，E=2 ，H=500n，所以S=E+H=当且仅当 =n，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.链接高考链接高考 （2010山东）已知x，yR+，且满足 ，则xy的最大值为 .知识准备：会用基本不等式，知道应用条件：“一正，二定，三相等”.解析：x,yR+，且 ，由基本不等式有解得xy3，当且仅当 ，即x=,y=2时，等号成立.所以xy的最大值为3.10.
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