奥数长方体正方体综合.doc

长方体与正方体综合

知识框架

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：；
长方体的体积：．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为，那么：，．
长方体与正方体的体积

立体图形的体积计算常用公式：
立体图形
示例
体积公式
相关要素
长方体

三要素：、、
二要素：、
正方体

一要素：
二要素：、

不规则形体的体积常用方法：
①化虚为实法
②切片转化法
③先补后去法
④实际操作法
⑤画图建模法

例题精讲

【例 1】 有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？

【例 1】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？

【例 2】 将16个相同的小正方形拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中2面涂漆的小正方体有8个，那么3面涂漆的小正方体有__________个，4面涂漆的小正方体有__________个。

【例 2】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

【例 3】 棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?

【例 3】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为1的小正方体，其中恰有两个面涂上红色的小正方体恰好是2005块。大长方体体积的最小值是 。

【例 4】 把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【例 4】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【例 5】 用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均为2×2的正方形，那么这个几何体至少由 个小正方体铁块焊接而成。

【例 5】 用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要 块小立方体．

【例 6】 第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行，北京的选手们用个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9的模型(如图)．问：最大为多少？最小为多少?

【例 6】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图，从正面看这个立体图形，如下图，则这个立体图形的表面积最多是________．

【例 7】 用6个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是8立方厘米，则大长方体的表面积是 平方厘米。

【例 7】 用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是 平方厘米。

【例 8】 现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?

【例 8】 如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？

【例 9】 图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？

【例 9】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？

【例 10】 如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有表面都是正多边形(正方形、正三角形、正六边形)，其中正方形的面积为18，那么该容器的容积为多少？

【例 10】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？

图⑴ 图⑵

课堂检测

【随练1】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为1的小正方体，其中恰有两个面涂上红色的小正方体恰好是2005块。大长方体体积的最小值是 。

【随练2】 将1，2，3，4，5，6分别写在正方体六面上，使正方体中对面数字的和相等。正方体如图放置在A格上，沿格子滚动到B点时，在正方体右面的数字是_______.

【随练3】 有很多白色或黑色的棱长是的小正方体．取其中的27个，拼成一个棱长是的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图．例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体．除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体．
问⑴：在下图的①~⑦中找出可以拼成每面都相同的图案．
问⑵：在问⑴中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几个？

例图 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

【随练4】 右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．

家庭作业作业检测

【作业1】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【作业2】 用若干个棱长为1的小正方体铁框架焊接成的几何体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图5所示。那么这个几何体至少是 个小正方体铁框架焊接而成。

【作业3】 选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是( )．

【作业4】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是，则大长方体的表面积为多少？

【作业5】 如图是一个正三角形和三个等腰直角三角形，直角边边长为1，则沿正三角形三边折叠所成的封闭形体体积是多少？

【作业6】 右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是＿＿＿毫升．