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竞赛讲座33
－三角函数
几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.
1．  角函数的计算和证明问题
在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：
（1）三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.
注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.
(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.
例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（   ）
（A）锐角    （B）钝角    （C）直角
分析  对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.
解当A=90°时，sinA和cosA=1；
当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，
∴sinA+cosA＞
当A=45°时，sinA+cosA=
当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞
∴sinA+cosA＞
∵1, 都大于.
∴淘汰（A）、（C），选（B）.
例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（   ）
（A）-1    （B）2-   （C）-1
（D）       （E）
分析  构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.
解  如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，
ctg67°30′=ctg∠DCB=
∴选(A).

例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:
R≤a·
证明  作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则
x+a=y+b,       ①
且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,
x-a=y-b.        ②
①+②得,x=y.从而知a=b.
∴GE=BC=a.
设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.
作O′M⊥EO于M,则O′M=GEa,∠OO′M=
∴R+r≤
两式相加即得R≤.

例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：
x2+2xsinA1+sinA2=0               ①
x2+2xsinA2+sinA3=0               ②
x2+2xsinA3+sinA1=0               ③
都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.
解∵各内角只能是、、、，
∴正弦值只能取
当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）≤440
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.
当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，
∴方程①的判别式
△1=4（sin2A1-sinA2）=0.
方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.
综上所述，可知sinA1=1，A1=.
同理，A2=A3=.
这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于
又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且  
A4+A5+A6=4×
2.解三角形和三角法
定理  
推论设  a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若
我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.
（1）       解三角形
例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是(  ).
(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα
解  如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.
∴应选(C).

例6          (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.

解  过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得
又∵△ABC∽△GFC，∴，即

（2）       三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.
例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE和四边形FBCE的面积之比是（  ）
（A）      1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4
解   由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.
在Rt△ABE中，∠ABE=，
∴S△AFE∶SFBCE=1∶1.应选(C).

例8   (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.
证明  如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)     ①
∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②
由①、②和代数基本不等式，得

例9          （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.
解   如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图

例10       (1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:an+bn＜cn.
分析  如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sinnα+cosnα＜1来讨论.
证明   设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则