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湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析17：简单几何体
【考点聚焦】
考点1：柱、锥、台、球的体积与面积的计算；
考点2：三视图的关系与画法；斜二侧直观图；
考点3：简单几何体中的线面关系证明；
考点4：正三、四、五棱柱、锥、台的特征量之间的关系。
【考点小测】
1．（山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
2、
(A) (B) (C) (D)
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C
2.（浙江卷）如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是
(A)2 (B) (C) (D)
解析：如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，则易得
EG＝2，EG＝1，故EF＝，选C
3.（广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
解：
4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A) 1∶ (B)1∶3 (C)1∶3 (D)1∶
3、9
解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选C
4.（天津卷）如图，在正三棱柱中，．
若二面角的大小为，则点到平面的距
离为______________．
解析：过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=，则C1D=，CC1=，在△CC1D中，过C作CE⊥C1D，则CE为点C到平面的距离，CM=，所以点C到平面C1的距离为.
5．全国卷I）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
【解析】正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为
4、底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。
6．设地球半径为R，在北纬60°的纬度圈上有M，N两点，它们的纬度圈的弧线等于，则这两点间的球面距离是
A． B． C． D．
7．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）
2
左视图
主视图
俯视图
(A)2，2 (B) 2，2 (C)4，2 (D)2，4
【典型考例】
例1如图为一几何体的展开图 (I) 需要多少
5、个这样的几何体才能拼成一
个棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1，请画出其示意图(需在示意
图中分别表示出这种几何体)；(Ⅱ)设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1
的中点为E，试求：异面直线EB与AB1所成角的余弦值及平面AB1E与
平面ABC所成二面角(锐角)的正切值.
例2．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点.
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离.
（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM .
∵F为BD1中点 ，
6、 ∴FM∥D1D且FM=D1D .
又ECCC1且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1. 又CM⊥面DBD1 .∴EF⊥面DBD1 .
∵BD1面DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故EF为BD1 与CC1的公垂线.
证法二：建立如图的坐标系，得
B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.
即EF⊥CC1，EF⊥BD1 . 故EF是为BD1 与CC1的公垂线.
（Ⅱ）解：连结ED1，有VE－DBD1=VD1－DBE .
由（Ⅰ）知E
7、F⊥面DBD1 ，设点D1到面BDE的距离为d.
故点D1到平面DBE的距离为.
例3．（2006上海文）在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ABC=90°，AB=BC=1。
（1）求异面直线 B1C1 与 AC所成角的大小；
（2）若直线 A1C与平面 ABC所成角为 45°，求三棱锥 A1—ABC的体积。
例4．（2006上海理）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
例5．如图，四棱锥中，⊥底面，.底面为直角梯形，.点在棱上，且.(1)求证：平面平面；（2）求证：平面.
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