四年级奥数讲义397学子教案库第11讲.提高班.教师版.doc

第十一讲
逻辑推理
教学目标

1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法；
2. 能够解决较复杂的逻辑推理问题。

经典精讲

逻辑推理问题是一类很少进行计算的数学问题，它主要运用严密的逻辑推理来解决问题。所谓逻辑推理，就是依据逻辑规律，从已知的结论为出发点，推出新的结论的过程。在解决这类问题时，必须依据事情的逻辑关系进行合情的推理，最后作出正确的判断。逻辑推理题的特点是条件繁杂交错，必须仔细分析，选择突破口，并且借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。

列表分析

【例1】 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？

【分析】 这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法：列表分析法。由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，
于是得到右上表。
　　 因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。

需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

【例2】 （年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。小华猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。结果只有小华猜到的班为第二名是正确的。那么这次竞赛的名次是__________班第一名，__________班第二名，__________班第三名，__________班第四名。

【分析】 依题意，班不为第一名也不为第三名，那么班为第四名。同样，班不为第二名也不为第一名，那么班为第三名。班不为第三名也不为第四名，那么班为第一名。故第一名到第四名依次为班，班，班，班。

[巩固] 甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长。一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好。⑵甲和中队长的成绩不相同。⑶中队长比乙的成绩差。
请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？

[分析] 根据条件⑵和⑶，甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了。甲和乙两人谁是大队长呢？由⑴和⑶，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好。这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲。

【例3】 甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳得高；⑵跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；⑶短跑健将请小画家画贺年卡；⑷数学博士和小画家很要好；⑸乙向大作家借过书；⑹丙下象棋常赢乙和小画家。
你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

【分析】 由⑵知，甲不是跳高冠军和大作家；由⑸知，乙不是大作家；由⑹知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：

因为甲是小画家，所以由⑶、⑷知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由⑵知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由⑴知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

[巩固] 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道：⑴顾锋最年轻；⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；⑸刘英与语文老师是邻居。
问：各人分别教哪两门课程？

[分析] 由⑴、⑶、⑷推知顾锋教数学和政治；由⑵推知刘英教体育；由⑶、⑸推知李波教图画、语文，所以刘英还教英语。

【例4】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人。
求这三人各自的籍贯和职业。

【分析】 由题意可画出下面三个表：

　　 将表补全为表。由表知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表补全为表。

所以，甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。

【例5】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民。
问：这三人各住哪里？各是什么职业？

【分析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。
　　 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件⑴得到表，由条件⑷得到表，由条件⑵、⑶得到表。
　　 因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表可填全为表。

　　 因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表可填全为表。

对照表和表，得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在北京，是农民。

假设推理

用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立。

【例6】 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：
⑴三人都说谎；
⑵三人都不说谎；
⑶三人中只有一人说谎；
⑷三人中只有一人不说谎。

【分析】 假设⑴正确，则甲、乙、丙都没说错，与假设矛盾；
假设⑵正确，则甲、乙、丙都说错了，与假设矛盾；
假设⑶正确，可是三个人都说有两人说谎，即三人都说错了，与假设矛盾；
假设⑷正确，推不出矛盾，符合题意。

【例7】 （年太原福布斯迎奥运数学展示活动）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名。”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名。”丙说：“我绝对不会得最后一名。”丁说：“我肯定得第一名。”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的。请问谁的预测是错误的？

【分析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾。所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的。如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾。所以乙的预测是对的，丁的预测是错的。

[前铺] 甲、乙、丙丁在比较他们的身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量的结果表明，只有一人说错了。请将他们按身高次序从高到矮排列出来。

[分析] 丁不可能说错，否则就没有人最矮了。由此知乙没有说错。若甲也没有说错，则没有人说错，矛盾。所以只有甲一人说错。所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高。所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁。

【例8】 （年春武汉明心奥数挑战赛）名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手。下面个人的供述中，只有句是对的：

说：是杀人犯；
说：我是无辜的；
说：不是杀人犯；
说：在说谎；
说：说的是实话。
在这个人中，__________是凶手。

【分析】 与判断相同，要么都对，要么都错。
假设与都错，即凶手是，那么也错，就出现了句错的，与“有句是对的”矛盾。所以与都是对的。
余下的人中还有人判断是对的，由于与互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有句是对的，那么必定是错的，所以是凶手。

[前铺] 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下：
　　 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
　　 乙说：“我没有作案，是丙偷的。”
　　 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
　　 丁说：“乙说的是事实。”
经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。
同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？

[分析] 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。所以乙和丁是盗窃犯。

【例9】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。
　　 甲说：“丙第名，我第名。”
　　 乙说：“我第名，丁第名。”
　　 丙说：“丁第名，我第名。”
成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

【分析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。
　　 假设甲说的第一句话“丙第名”是对的，第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我第名”是错的，“丁第名”是对的；丙说的“丁第名”是错的，“丙第名”是对的。这与假设“丙第名是对的”矛盾，所以假设不成立。
　　 再假设甲的第二句话“我第名”是对的，那么丙说的第二句“我第名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第名”是对的；由此推出乙说的“丁第名”是错的，“我第名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。
【例10】 甲、乙、丙、丁四人赛跑，有名观众对赛跑成绩做了估计。
观众说：“乙得第二名，丙得第一名。”
观众说：“丙得第二名，丁得第三名。”
观众说：“甲得第二名，丁得第四名。”
比赛结果公布后，发现每人都说对了一半，请问甲第______名，乙第______名，丙第______名，丁第____名。

【分析】 设计如下表格进行推理：

第一名
第二名
第三名
第四名

丙√
乙×

丙√
丁√

甲×

丁×
可以看出我们把三名观众对赛跑成绩进行的估计列出来后，假定说“丙得第一名”是正确，则丙不可能同时又是第二名。那么说“丁得第三名”就正确（每人说对一半）。往下推知“丁得第四名”错误，则“甲得第二名”正确。所以，丙第一名、甲第二名、丁第三名、乙第四名。

综合分析

【例11】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白。然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了。试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？

【分析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两白。那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”；若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”。

【例12】 、、、、五位朋友在公园里聚会，每两人之间握一次手。已知，握了次握了次，握了次，握了次。到目前为止，握了几次？

【分析】 为了叙述方便，用个点表示个人。两点之间连一条线，表示两人握了一次手。分别和、、、握手，只和握了次，和、、握了次，与、握了次,所以，与、握了两次手。

巩固精练

1. 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？

【分析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红
都不是兄妹。由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表。

　　 所以刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。

2. 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”宝宝说：“是星星无意打破的。”星星说：“是乐乐打破的。”乐乐说：“星星说谎。”
　　 强强说：“反正不是我打破的。”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？

【分析】 因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。
　　 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。
　　 假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。
　　 所以是强强打破了玻璃。

3. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？

【分析】 小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。
若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。所以“小明得金牌”是错的，小明不得金牌。
若小华不得金牌，那么“小明得金牌”与“小强不得铜牌”这两句都是错的，那么小明也不得金牌，小强得铜牌，这样将没人得金牌，矛盾。所以“小华不得金牌”是错的，小华得金牌。“小强不得铜牌”是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。

4. 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是。”小明说：“它是。”小亮说：“它是。”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是__________。

【分析】 由于每个人只猜对了位置不同的一个数字，也就是说相同位置上一样的数字必然不对，所以十位上不能是，只能是，十位上小亮猜对了；个位上不能是，只能是，个位上小明猜对了；所以百位上小光猜对了，百位是，密码是。

现代五项运动是根据古希腊战争中的一个传说演变和发展而来的：一个通信兵接受任务后，跨上骏马奔驰在起伏不平的原野上，越过一道道障碍。在遭到敌人的阻击时，战马被击毙，他勇敢地拔出利剑杀出重围，并用手枪击退追兵，然后游泳渡过一条波涛汹涌的大河，最终跑步把情报送到目的地。
１９１２年，在瑞典的斯德哥尔摩奥运会上，现代五项成为奥运会的正式比赛项目。１９１２至１９８０年的各届奥运会中，现代五项比赛都是在五天内完成，每天安排一个项目。从１９９６年亚特兰大奥运会至今，规则规定参赛男运动员必须在一天内完成五个项目的比赛，同时取消了团体项目，只设个人项目。１９９８年，国际现代五项联盟批准女子现代五项个人项目被列入悉尼奥运会正式比赛项目。
２００８年北京奥运会现代五项比赛为个人赛，参赛人数为男、女各３６名。第２９届奥运会现代五项比赛将于２００８年８月２１日至２２日在北京举行。现代五项比赛中的射击和击剑项目在国家会议中心击剑馆举行；游泳在英东游泳馆举行；马术和跑步在奥体中心体育场举行。

一个年轻人在一座士窑前，看见了一位刚开始学习烧制陶器的老人。这时，老人正用木棍把二十多个刚刚出窑的陶器打得粉碎。
年轻人不解地问老人为什么要这样做。
老人回答道：“这一窑的火候没掌握好。
年轻人不无惋惜地说：“可是你把它们都打碎了，花费的心血不是白白地遗费掉了嘛!”
老人说：“没什么值得可惜的，我相信下一炉会烧得更好。”
追求更好，于是每一次更好都成了失败。越是失败，才更要追求更好。没有永远的失败，没有永远的成功。成功也不过是一次更好而已。