球的表面积和体积.docx

球的表面积与体积-集中训练
球:
①球的半径是R，则其体积,其表面积；
②球的半径（R），截面圆半径（），球心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关系：，它们是计算球的关键所在。
球的组合体:
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
请各位同学推导： 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
1、在三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．()
2、(2015·山西四校联考，15)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．

【解析】　设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝2，BC＝BD＝2，BC⊥BD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R＝2，R＝，所以该三棱锥的外接球体积为×()3＝4π.
3、(2015·课标Ⅱ，10，中)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π
【答案】　C　设球O的半径为R，由题知当OC⊥平面OAB时，三棱锥O­ABC的体积最大，VO－ABC＝R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π.
4、(2012·课标全国，8，中)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π C．4π D．6π
【答案】　B　如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝1，∴球的半径R＝|OA|＝＝.

∴球的体积V＝πR3＝4π.故选B.
5、(2014·大纲全国，10，中)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高
为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B．16π C．9π D.
【答案】　A　由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4－R)2＋()2＝R2，解得R＝，所以球的表面积为4π×＝π，故选A.
6、(2013·天津，10，中)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．
【解析】　设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径R＝a.因为球的体积为π，所以π·R3＝π，即R＝＝a，所以a＝.
7、(2013·课标Ⅱ，15，难)已知正四棱锥O­ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
【解析】　设底面中心为E，则|AE|＝·|AC|＝，∵体积V＝|AB|2·|OE|＝|OE|＝，∴|OA|2＝|AE|2＋|OE|2＝6.从而以O为球心，OA为半径的球的表面积S＝4π·|OA|2＝24π.
8、(2013·课标Ⅰ，15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为
解析：平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得OH＝R，由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，

所以＋12＝R2，得R2＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π·＝.
9、(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3
解析：设球的半径为R，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R－(8－6)＝R－2，故R2＝(R－2)2＋42⇒R＝5.∴V＝πR3＝(cm3)．
10、(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)

A.＋ B.＋ C. D.＋
【答案】　D　蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d＝＝.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为＋.
11、(2015·辽宁沈阳一模，6)已知四面体P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为(　　)
A．7π B．8π C．9π D．10π
【答案】　C　∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，在四面体的基础上构造长方体如图，

可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R＝＝3，∴R＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×＝9π
12、(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝2，∠BAC＝，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．
【解】依题意可知，球心到平面ABC的距离为AA′＝1，平面ABC所在圆的半径为BC＝，则球的半径为＝2，则球的体积为×π×23＝.
13、(2014·宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D­ABC的外接球表面积等于________．
【解析】　设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立．此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.
14、若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为 。
16、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积和体积分别为12和24,且AB=AD,求该长方体外接球的表面积 .
　　解析:设AB=a,AA1=b,则
a2b=12,4ab=24,解得a=2,b=3,设长方体外接球的半径为r,则4r2=22+22+32=17,
所以长方体外接球的表面积S表=4πr2=17π.
17、高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等,则该圆柱与球O的体积之比为
A.2∶3 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶2
　　解析:设圆柱底面半径为r1,球O的半径为r2,由题意得6πr12=4πr22,故r1r2=23, 则V柱V球=2πr134π3r23=23.

18、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
A.163π B.1912π C.193π D.43π
　　解析:由正视图可得该三棱柱的底面边长为2,高为1,易得底面外接圆的半径等于233,
设该球的半径为r,则r2=(12)2+(233)2=14+43=1912,该球的表面积为4π×1912=19π3. 答案:C
19、已知A、B、C、D是表面积为6π的球O上的四点,且DA⊥平面ABC,三角形ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,且AC=2则VD-ABC的体积为　　　　. 
　　解析:由条件可求得球O的半径R=62,BC=AB=2,可证得球心O为DC的中点,则DC为球O的直径,则DC=6,在直角三角形DAC中,DA=DC2-AC2=2,所以VD-ABC=13×2×12×2×2=23. 答案:23
20、直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．

21、三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其
外接球的表面积是　 　cm2．

22、边长是的正内接于体积是的球，则球面上的点到平面的最大距离为 .

第10题图
23、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A
A． B．
C． D．

24、某几何体的三视图如图，其顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（ C ）
A． B． C． D．

25、某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体外接球的表面积为(  C   )

A.  32π B.  64π C. 128π D.136π 

26、在三棱锥A1－ABC中，AA1⊥底面ABC，，则该三棱锥的外接球的表面积为