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第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)
主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129

§8.1 优先序
一、二元关系
1.无差异(Indifferent to)～
2.(严格)优于(Strict preference to)
3.不劣于(preference of indifference to)
l可以用定义～，：
A～B AB且BA
AB AB且非BA
因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。
l在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。
但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。

二、二元关系的种类(用R表示二元关系)
l传递性，若xRy, yRz则xRz
l自反性reflectivity: xRx
l非自反性：(Irreflexivity)非xRx
l对称性(Symmetry)若zRy,则yRx
l非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx
l反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y
l连通性(connectivity) completeness, Comparability
对x, y∈X xRy 或/和 yRx
任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如，
20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是20≠100
连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.
连通性传递性  完全序

§8.2多属性价值函数
一、价值函数的存在性
定理8.3
X, 是X上的弱序，且
① 若 ≥  ;
② 若  则 必存在唯一的0＜λ＜1使～λ+(1-λ);
则存在定义在X上的实值函数v，满足  v()＞ v()
~ v() = v()
Note: 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.
2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).
3. v()=f() f的形式通常十分复杂，即使为线性 v 的形式仍十分复杂.
例： , 的价值函数为线性, 即: =k1 =k2
且 k2=1.5k1, 但是 v()≠()+()
因此, 价值函数的设定相当困难.

二、加性价值函数
1.定义：
若 v()=, 则称价值函数V()是加性的
2.加性价值函数的存在条件
定理8.6(P133) (n≥3)
定义在YR上的价值函数 v()=v()对任何 ’,”∈Y ,
’” iff v(’)≥v(”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y, i=1,…n 上的实值函数 v使
’”(’)+ …+(’) ≥(”)+ …+(”)
3.互相偏好独立的定义：
属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集(Ω=ΘU)
4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2)
当且仅当：对特定的 若 (’,) ( ”,) 则对所有 必有(’,) ( ”,) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集.
5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)
消去条件 对",,Î, ,,Î
有(,)(,),(,)(,)则必有(,)(,)
则称满足消去条件.
Thomson条件 将消去条件中的改为～.
三、其他简单形式
1.拟加性：
v()=++
+ … + () …()
条件 i=1,2,…,n弱差独立于其补集 (详见p135,定义8.7)
2.乘性(pp136-137)
若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集, 则
v()=+k+
+ … + () …()

§8.3多属性效用函数
一、二个属性的效用函数
·后果空间X×Y，后果(x,y)，设决策人在X×Y上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=(x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)
·设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(·)是保序变换
·决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 <,(,);…；,(,)>的抽奖
可以用期望效用E[u(x,y)]= 来衡量其优劣.
二、效用独立(Utility Independence)
1.例： : <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)>
: <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)>
: <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)>
: <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)>
若效用独立, 则Û
2.定义：
若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关). 更一般的定义见P147，定义8.10
3.效用独立蕴含偏好独立
(x,a)(x’,a) 对某个α
Û <1, (x,a)> <1, (x’,a)>
Û <1, (x,b)> <1, (x’, b)> 由UI，对任何β成立
Û (x,b)  (x’, b)
4.引理：
X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的
u(x,y)= a(y) u(x, ) + b(y) "(x,y)ÎX´Y
其中α(y)>0, α(y),β(y)的确定与有关。
同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的
u(x,y)= g (y) u(, y) + d(y) "(x,y)ÎX´Y
其中g(x)>0, g(x),δ(x)的确定与有关。
5. X、Y相互效用独立
定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(,)使u(,)=0
必有 u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y)
即XY相互效用独立且 u(,)=0时，u(x,y)具拟加性.
6.加性条件：
在上述假设下，再附加：对某个,ÎX, ,ÎY,
<0.5,(, ); 0.5,( ,)> ~<0.5,(, ); 0.5,( ,)>
且 (,)( ,), (, ) ( ,)
则 u(x,y)= u(x, )+ u(,y)
加性独立也可以用另一种方式来表示:
属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’ÎX, y,y’ÎY
<0.5,(x, y); 0.5,( x’,y’)> ~<0.5,(x, y’); 0.5,( x’,y)>
8.定理
设u(x,y)是X´Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(,)使u(,)=0
有u(x,y)= u(x, )+ u(,y)
加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。
拟加性效用函数的例
某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣
x:每天的日照时数
y:每天的费用
在与决策分析人讨论后确定了:
a. 他的偏好是相互效用独立的;
b. x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;
c. y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;
d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12)
(15,16)～12,8)
他面临的度假地有两种选择
A：x=10, y=14
B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4
他应选择那一地点度假?
解: 先选(,).由于需要(,)～( ,)
在(10,16)～(8,12)中，=8, =16 则=10, =12
令u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由x边际效用的线性性u(x, 16)=(x-8)/2
同样，由y边际效用的线性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1
可得：u(8,y)=(16-y)/4
因此：u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y)
=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8
∵(15,16)～(12,8) ∴u(15, 16) = u(12, 8)
即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k ´ 4/2 ´ 8/4 得k=1/8
因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64
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