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期数 0511 SXG3 043
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
[同步教学信息]
预 习 篇
预习篇三十 高三理科数学总复习七
2、 ——函数的值域（一）
【考试大纲的要求】
理解函数的概念，掌握求函数值域的方法．
【基础知识概要】
求函数的值域关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求函数值域的问题，首先考虑有哪几种方法，一般方法是什么？特殊方法是什么？在多种方法中选出最优方法．求函数值域没有通用方法和固定的模式，要靠自己积累经验，掌握规律，函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意利用基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的作用求函数值域，不但要重视对应法则的作用，而且特别注意函数定义域的制约作用．常用的方法有：观察法、配方法、判别式法、换元法、不等式法、数形结合法以及利用函数的单调
3、性、函数的导数求值域.
【典型例题解析】
1．观察法
例1．求下列函数的值域
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：(1)，∴，即，∴函数值域是.
(2) ∵，∴，∴函数的值域是
(3)，∴，∴ 函数的值域为．
(4) ，∵，∴，∴函数值域是．
评析：观察法主要是根据非负数的特点和分式不为零的特点进行观察．如（4）在观察的时候需要先化成部分分式．再如．
2．配方法
这种方法适用于求二次函数或者与二次函数密切相关的函数的值域，将函数解析式进行配方整理后，即可求出值域.
例2 求下列函数的值域：
（1）；
（2）
解：（1），
∴，值域
4、为；
（2）∵，∴－5≤x≤1，
，
∴，值域为.
3．判别式法
把函数解析式看作关于x的一元二次方程，因为函数的定义域为非空数集，所以这个二次方程一定有实数解，则判别式，由此得到关于的不等式，通过解这个不等式可以求出函数的值域.
例3 求下列函数的值域：
（1）； （2）.
解：（1）由得 ，
当x=0时, y=0;
当x≠0时, y≠0，此时方程有实根的充要条件是
，∴,
综上所述，函数的值域为；
（2）由可知y≠2，
，
∴，
判别式，
解得2≤y≤6，
又∵y≠2，∴2＜y≤
5、6，值域为.
4．换元法
运用代数换元或三角换元，将所给函数化为容易求出值域的形式，形如的函数通常用此法求值域.
例4 求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
解：（1）设，则，
∴，
∵t≥0，
∴，函数的值域为；
（2）由已知，函数的定义域为[－3,3]，因此，设，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，值域为.
注：此题也可设.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．若函数的定义域和值域都是[1,b](b＞1)，则b的值为（ ）
A．2 B． C．3
6、 D．4
2．函数的值域为（ ）
A．[1,5] B．[5,9] C．(1,9) D．[1,9]
同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．设f(x)是和x(x∈R)的较小者，则f(x)的最大值是（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、解答题
3．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
7、
（6）；
（7）；
（8）
参考答案
同步落实[※级]
一、1．C 2．D
同步检测[※※级]
一、1．A 2．C
二、3．解：（1），∴值域为；
（2）∵，∴，∴值域；
（3）当x=0时，y=0，
当x≠0时，y≠0，此时, 有解，，∴－2≤y≤2，
综上所述，值域为[－2,2]；
（4），
∵－1≤cosx≤1, ∴0≤y≤4, 值域为[0,4]；
（5），
由，得y≥0或y≤－4，
又y≠0， ∴y＞0或y≤－4，值域为；
（6）∵，∴y≠2，
，
∴，
，
∴或y≤2,
又y≠2， ∴值域为；
（7）设，则，，
∵t≥0， ∴， ∴值域为；
（8）设，∵1≤x≤2， ∴，
，
∵，∴0≤t－1≤,
∴，值域为[2, ].
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