【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题9_直线和圆_理(2007-2012).doc

【2012年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是
（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
2.【2012高考真题浙江理3】设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的
A 充分不必要条件 　　　B 必要不充分条件
C 充分必要条件 　　　　　D 既不充分也不必要条件
4.【2012高考真题陕西理4】已知圆，过点的直线，则（ ）
A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能
【答案】A.
【解析】圆的方程可化为，易知圆心为半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.
5.【2012高考真题天津理8】设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D

【解析】圆心为，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或
6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．

8.【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
④
同理可得
⑤
于是由②，④，⑤三式得

.
所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.
【2011年高考试题】
一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，) B．(，0)∪(0，)
c．[，] D．(，)∪(，+)
、
解析：选B ，由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为
二、填空题:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线

2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，

综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为

3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结
合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
解法一：
（I）依题意点P的坐标为（0，m）
因为，所以，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2）
从而圆的半径

故所求圆的方程为
（II）因为直线的方程为
所以直线的方程为
由

（1）当时，直线与抛物线C相切
（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。
综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；
当时，直线与抛物线C不相切。

4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
② 。
③ 。
⑶ ① 选择，
② 选择。

【2010年高考试题】
（2010江西理数）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A

（2010重庆理数）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A. B. C. D.
解析：数形结合

由圆的性质可知

故

1. （2010安徽理数）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、和
9.D
（2010全国卷2理数）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．
（2010四川理数）（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2
圆心到直线的距离为d＝
故
得|AB|＝2
答案：2
（2010广东理数）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
12．．设圆心为，则，解得．
（2010山东理数）

【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：
，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。

（2010湖南理数）

2. （2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。
【2009年高考试题】
4.（2009·辽宁文、理）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
（A） (B)
(C) (D)
解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
答案：B

16．（2009·18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或。

【2008年高考试题】
15．（2008·江苏18）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆的方程；
（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．

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