江苏省泰州市2012-2013学年高一上学期期末考试_数学试题教师卷.doc

2012～2013学年度泰州市第一学期期末考试参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．的值为 ．
2．函数的定义域为．
3．已知幂函数的图象过点，则 ．
4．若函数为偶函数，则实数的值为1．

5．已知扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为．
6．将函数的图象向右平移个单位后所得图象的函数解析式是．
第10题图
7．．
8．在平面直角坐标系中，已知以轴为始边的角、的终边
分别经过点、，则．
9．函数的单调增区间是（也对）．
10．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量
满足（x,yÎR），则的值为．
11．若函数的定义域与值域都是，则实数．
12．已知直线与函数和的图象及轴依次交于点，则的最小值为．
13．已知点、分别为的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），
若，则的值为．
14．已知函数，，若对任意的，与的值不异号，则实数的值为．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
已知集合，，全集．
（1）求；（2）若集合，，求实数的取值范围．
15． 解：（1），
，…………………………………………………………4分
． ………………………………………………………8分
（2），，，
的取值范围是． ……………………………………………………………14分
(不写等号扣2分)

16．（本小题满分14分）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的值；
(2)求的单调增区间；
(3)求在区间上的最大值和最小值.

16． 解：（1）由图象知， …………………………………………………………2分
由图象得函数的最小正周期为，
则由得．…………………………………………………………………4分
（2），
.
.
所以的单调递增区间为. …………………………9分
（3）
.
. ………………………………………………………12分

当即时，取得最大值；
当即时，取得最小值. ………………………14分

17．（本小题满分14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是、万元，它们与投入资金万元的关系分别为，，（其中都为常数），函数y1，y2对应的曲线、如图所示．(1)求函数、的解析式；
(2) 若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

17．解：（1）由题意 ，解得，
……………………………………………………4分
又由题意得
……………………………………………………………………7分
（不写定义域扣一分）
（2）设销售甲商品投入资金万元，则乙投入（）万元
由（1）得，……………………………10分
令，则有
=，，
当即时,取最大值1.
答：该商场所获利润的最大值为1万元．……………………………………………14分
（不答扣一分）

18．（本小题满分16分）
已知向量=，=，，且∥.
（1）若，求的值；
（2）证明：不存在角，使得等式 成立；
（3）求的最小值．
18． 解： ，且∥.
…………………………………………………………3分
（1），，
………………………………………………………6分
（2）假设存在角使得等式成立则有

不成立
不存在角使得等式成立．………………………………………………………11分
（3），
，又，
， ………………………………………………………13分

当时，． …………………………………………………16分

19．（本小题满分16分）
已知函数（aÎR）．
（1）记函数，
(i)判断函数的零点个数；
(ii)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
（2）设．若对于函数图象上异于原点的任意一点P，
在函数图象上总存在另一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．
19． 解：（1）(i)

函数有2个零点 ． …………………………………………4分
(ii)
由题意 ， ．…………………………………8分
（2），
由题意易知,两点在轴的两侧，不妨设点坐标在轴的左侧，设，
当，则，恒成立，…………………12分
当，则设点（），
恒成立，恒成立，
恒成立，只要 ， ………………………………14分
,． ………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数是区间上的增函数，若可表示为，且满足下列条件：①是上的增函数；②是上的减函数；③函数的值域，则称函数是区间上的“偏增函数”．
(1) (i) 问函数是否是区间上的“偏增函数”？并说明理由；
(ii)证明函数是区间上的“偏增函数”．
(2) 证明：对任意的一次函数， 必存在一个区间，
使为上的“偏增函数”．
20． 解：（1）(i) 是区间上的“偏增函数”．…………1分
记，显然在上单调递增，在上单调递减，且,
又在上单调递增，
故是区间上的“偏增函数”．……………………………4分
(ii) ，
记，
显然在上单调递增，在上单调递减，且，
又在上单调递增，
故是区间上的“偏增函数”． …………………………………10分
(2) 证：当时，令，，，
显然，,在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，且对任意的，，
因此时，必存在一个区间，使为上的“偏增函数”． …………………………………13分
当时，取且满足，令，，
，
显然，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，且对任意的，，
因此时，必存在一个区间，使为上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数， 必存在一个区间，
使为上的“偏增函数”． ………………………………………………………16分
(其他构造方法相应给分)