引导学生学会解题反思.doc

[初中数学论文]
引导学生学会解题反思

《学记》中说：“学然后知不足，知不足，然后能自反也”，反思是一个能动的、审慎的知识加工过程，作为初中学生往往只是按部就班、照例模仿、套公式解题、重复机械按老师要求完成作业、应付考试，学生的解题只停留在解答结果的表层，而没有对题目涉及的概念、知识与能力进行回顾；也没有对解题方法与数学思想进行提练与加工，更没有想到把本题的结论与思想进一步推广，而可以触类旁通。学生对解题的反思目的在于对学习进行诊断、纠错、创新，是一个吸取教训、总结方法、升华思想的过程，反思能让学生从“学会”变成“会学”。
一、 反思解题思路，剖析思维过程
解题本身不是学习的目的，而只是一种训练手段，学生在做题时应主动找出本题所蕴含的概念、知识和能力，并发现规律、形成技能，理清解题思路，择机对问题进行突破，并努力寻找解决问题的最佳方案，从而使解题过程清晰化，思维条理化，精确化和概括化。
例：如图：⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC
A
C
B
O2
O1
反思概念：本题蕴含了外切、公切线、垂直、切线长、弦切角、圆心角、半径等概念以及他们的联系。
反思能力：圆相切时添常见辅助线能力，各概念进行概括加工能力，怎样证明垂直的能力等。
反思方法：本题是一基本图形，证明方法有多钟（至少有5种方法）都是通过两圆的公切线或作连心线及通过B、C的半径来证明等（证明略），学生在解题时应该从不同角度，不同方式去反思，反思条件与结论的本质联系，反思常见辅助线添法，反思基本图形的迁移作用。
而学生在做正确而感到喜悦的同时，还应该进一步去反思图形的变化，若两圆位置关系变换后，还能否得到同样的结果，通过反思，认真分析可得垂直依然成立，如图： A1B⊥AC(证明略）
B
C
A
O2
O1
A1
A1
C
B
A
O2
O1

还可以进一步探索把O1O2延长也可得AB与A1C也是垂直的。如图：AB⊥A1C
A1
A
B
A
O2
B
C
C
A1
O1
O1
O2
C
A1
A
B
O1
O2

二、反思易错易漏，力求尽善尽美
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往与成人不同，而且表达方式可能也不准确，又缺乏思维的严谨性，这就难免在解题过程中易错易漏，而只要学生能从此切入解题时进行反思，往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果。
初中学生刚学习有关有理数运算，对此下几个题目总是存在错误：
计算（-2）2，-22，-2-2，2-2，（-2）-2
反思为什么会有同样的错误，原因在于没有弄清各算式的意义，如：乘方的意义，负指数的意义，底数与幂的意义，甚至相反数的表示等，以及他们之间的联系，象-22与-2-2，2-2，要弄清底数是2，象（-2）2与（-2）-2底数是-2，当然在计算时也有小小的技巧，如负指数的计算,其实也可以，这样出错的概率就小。又如在讲同类项时，我提出：若单项式与是同类项。学生很快解出：得，“聪明”学生还会这样做：，得：，象如此频繁的错误，说明学生根本没去对出题者的意图进行反思，没有对基本概念进行反思；又如在几何题中经常会遇到根据位置或者形状不同而进行分类讨论的题目，学生也很容易造成疏漏，如：把一个矩形截去一个角，问还有几个角，学生回答是3个或许4个，其实答案是3个或4个或5个，如图：

象这样一个简单的问题，学生解题后也要去反思是否有疏漏或错误的地方，反思答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其它可能情况，是否掉入命题者所设的陷井，从而提高自己全面思考的能力，力求尽善尽美。
三、反思多向思维，以便触类旁通
N
F
C
B
M
E
D
A
一题多解是培养学生思维能力的一种有效手段，探讨解法多样性 ，是解题反思的重要内容，学生要学会对已知信息进行综合分析，探索其广阔外延，挖掘其深层信息，多角度切入问题，以不同的创新思维方式寻找新的思路和解法，达到举一反三，触类旁通。
N
F
C
B
M
E
D
A
例：如图，E、F是平行四边形ABCD中AB、CD边上的中点，AB=AD+BC，连结AF、DE并延长，交BC的延长线于点N、M，试说明AN⊥DM。
分析反思：充分抓住AB=AD+BC，且E、F为AB、CD中点，于是可得到相等的线段：AD=AE=BE=DF=CF=BC；CD=AB=MC=BN，且有平行线AD∥MN，AB∥CD，于是思绪被打开,反思找出里面相等的角,解法如下:（简略证法）
法一:连EF,由AD=AE=DF,且先证EF=AD,再证四边形AEFD是菱形,而得AN⊥DM.
法二:先证ΔAED为等腰三角形,AE=AD,且可证∠EAF=∠DAF,可得AN⊥DM;
法三:连结CE可证CM=CD,且E为MD的中点,可得CE⊥DM,再证CE∥AN,即得AN⊥DM;
N
F
C

B
M
E
D
A
法四:由MC=CD, 则∠M=∠MDC,∴∠MCD+2∠MDC=180度,而∠MCD=2∠CFN,则∠AFD+∠MDC=90度,即得AN⊥DM.
……….
解法还有,反思四种解法都比较简单,只要充分挖掘题目中的信息间的内在联系,据已知条件揭示隐含条件,充分利用等腰三角形的性质和三角形的外角知识,学生从中拓宽思路,培养思维的灵活性,从而避免学生在解题目中钻死胡同的现象,达到举一反三.
四、反思思维迁移,享受成就感
学生做题往往是为做题而做题,没有认真分析解题后的知识的迁移,而学生在对题目进行反思引伸、拓展，会更进一步激发自身的求知欲望，培养自己自觉探究的良好习惯，享受成功的喜悦，培养学生创新思维能力。
H
D
G
C
F
B
E
A
例：已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
学生对本题并不陌生，经过一翻思考，不难发现正确方法，但往往不去反思四边形的特殊性导致的结果，更没有从特殊迁移到一般的思维过程，学生在证明完成后可以反思：若四边形ABCD是特殊的四边形，如：等腰梯形、矩形、菱形、正方形等时，四边形EFGH又是什么四边形呢？
得出结论后又进一步反思，此四边形若分别满足条件（1），对角线相等；（2）对角线相互垂直；（3）对角线相互垂直且相等；又是什么结果呢
再反思：沿任意四边形对边中点剪开成4块，都可以拼成平行四边形（奇妙）
通过这样的反思把结论从特殊到一般，而且使自己对特殊四边形的判定与性质及他们间的联系理解得更加透彻，达到对知识的迁移，并能得出如上奇妙而有趣的结果，享受了做数学题的成功。
学生解题反思，是学生提高数学能力的重要环节，引导学生不断对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对解题中所蕴含的数学方法、数学思想进行提炼与概括，重构自己的认知结构，从而发展思维、提高探索能力、引发再创造。让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。
主要参考文献：
1、 楼欣荣、赵迎春。“反思探索、补漏拓展”，《中学数学参考》2003.12
2、 李焕麒。“多向思维、举一反三”，《中学数学参考》2007.3
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