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常见递推数列通项的求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一：（可以求和）累加法
例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。
解析：
上述个等式相加可得：

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
类型一专项练习题：
1、已知，（），求。
2、已知数列，=2，=+3+2，求。
3、已知数列满足，求数列的通项公式。
4、已知中，，求。
5、已知,,求数列通项公式.
6、 已知数列满足求通项公式？（）
7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式
8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
9、已知数列满足，，求。
10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值； c=2
（II）求的通项公式．
11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　5　；
当时，　　　　　（用表示）．
类型二： （可以求积）累积法
例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。
解析：

又也满足上式；
评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。
类型二专项练习题：
1、 已知，()，求。
2、已知数列满足，，求。
3、已知中，，且，求数列的通项公式.
4、已知， ，求。
5、已知,,求数列通项公式.
6、已知数列满足，求通项公式？ （）
7、已知数列满足，求数列的通项公式。
8、已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
9、设{an}是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.
10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.

类型三：待定常数法
可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。
例1 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。
解析：设，则
，于是
是以为首项，以3为公比的等比数列。

类型三专项练习题：
1、 在数列中， ，，求数列的通项公式。
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式
3、已知数列{a}中，a=1，a= a+ 1求通项a．
4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.
5、在数列{an}中，求.

6、已知数列满足求数列的通项公式.
7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用表示a；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）当时，求数列的通项公式
8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？ 是
类型四：
可将其转化为-----（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。
例1 在数列中， ，，且求数列的通项公式。
解析：令
得方程组 解得

则数列是以为首项，以2为公比的等比数列

评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。
例2 已知、,,求
解析：令，整理得

；
两边同除以得，，
令，
令，得

，
故是以为首项，为公比的等比数列。
，
即，得
类型四专项练习题：
1、已知数列中，,,，求。
2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.
3、已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
4、数列：， ，求数列的通项公式。

类型五： （且）
一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。
例1 设在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：设

展开后比较得
这时
是以3为首项，以为公比的等比数列

即，
例2 在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：
，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。
即
例3 在数列中， ，求数列的通项公式。
解析：在中，先取掉，得
令，得，即；
然后再加上得 ；

两边同除以，得
是以为首项，1为公差的等差数列。
，
评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：在中取掉待定
令，则
， ；再加上得，
，整理得：，
令，则
令 ；

即；数列是以为首项，为公比的等比数列。
，即；整理得
类型5专项练习题：
1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。
2、已知数列中，点在直线上，其中
（1） 令求证：数列是等比数列；
（2） 求数列的通项 ；
3、已知，，求。
4、设数列：，求.
5、已知数列满足，求通项
6、在数列中，，求通项公式。
7、已知数列中，,，求。
8、已知数列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a．
9、已知数列满足，求数列的通项公式。
10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式
11、已知数列满足,求.
12、 已知数列满足，，求数列的通项公式。
13、已知数列满足，求数列的通项公式。
14、 已知，，求。
15、 已知中，，，求.
16、已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
类型六：（）倒数法
例1 已知，，求。
解析：两边取倒数得：，设则；
令；展开后得，；；
是以为首项，为公比的等比数列。
；即，得；
评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。
类型六专项练习题：
1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
2、已知数列{}满足时，，求通项公式。
3、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
4、设数列满足求
5已知数列{}满足a1=1，，求
6、 在数列中，，求数列的通项公式.
7、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．
类型七：
例1 已知数列前n项和.
求与的关系； （2）求通项公式.
解析：时，，得；
时，；
得。
（2）在上式中两边同乘以得；
是以为首项，2为公差的等差数列；
；得。
类型七专项练习题：
1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列{an}的通项an。
2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.
3、已知数列{an}的前n项和为Sn = 3n – 2, 求数列{an}的通项公式.
4、设正整数{an}的前n项和Sn =，求数列{an}的通项公式.
5、如果数列{an}的前n项的和Sn =, 那么这个数列的通项公式是an = 2·3n
6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？
类型八：周期型
例1、若数列满足，若，则的值为___________。
解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为：
；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；
.
评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。
类型八专项练习题：
1、已知数列满足，则= （ B ）
A．0 B． C． D．
2、在数列中， -4
类型九、利用数学归纳法求通项公式
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：根据递推关系和得，
所以猜测，下面用数学归纳法证明它；
时成立（已证明）
假设时，命题成立，即，
则时，=
=。
时命题成立；
由可知命题对所有的均成立。
评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。
类型九专项练习题：
1. 设数列满足：，且，则的一个通项公式为 ，
2、已知是由非负整数组成的数列，满足，，（n=3，4，5…）。
（1）求； 2
（2）证明（n=3，4，5…）；(数学归纳法证明)
（3）求的通项公式及前n项的和。；
3、已知数列中=，。
(1) 计算，。
(2) 猜想通项公式，并且数学归纳法证明。

递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。