1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,6.2 用留数定理计算实积分,1、计算 型积分.,2、计算 型积分,3、计算 型积分,1/19,表示 ,有理函数,1、计算 型积分.,而且在,上连续.,当 经历变程 时,z,沿圆周|,z,|=1,正方向绕行一周.所以有,这里,方法,令,2/19,2、计算 型积分,引理6.1 设f(z)沿圆弧,一致成立(即与 中 无关),则,上连续，且,于S,R,上,(6.9),0,x,R,S,R,3/19,证
2、因为,(6.10),对于任给,由已知条件,存在,使当,时,有不等式,于是(6.10)式不超出,(其中,l,为S,R,长度,即 ).,4/19,为互质多项式,且合条件,:,(1)n-m,2;,定理6.7 设,为有理分式,其中,(6.11),0,x,a,2,a,k,a,1,y,z,a,3,a,4,5/19,证 由条件(1),(2)及数学分析结论,知,于是,由线段-R,R及 合成一围线,先取R充分大,使 内部包,含f(z)在上半平面内一,切孤立奇点(实际上只有有,限个极点).而由条件(2),f(z),在 上没有奇点.,取上半圆周,作为辅助曲线,存在,且等于它主值,0,x,R,-R,a,2,a,k,a
3、,1,6/19,按残数定理得,或写成,因为,(6.12),7/19,由假设条件(1)知,n-m-,1,1,故沿,R,上就有,|,zf,(,z,)|,0(,R,+).,在等式(6.12)中命,R,+,并依据引理6.1,知(6.12)中第二项积分之极限为零,这就证实了(6.11).,8/19,例1、设,a,0，计算积分,解：,共有四个一阶极点,9/19,其中只有,a,0,a,1,在上半平面上，于是：,10/19,例2 设,a,0，计算积分,解：这里,共有四个一阶极点为,ai,bi,其中只有,ai,bi,在上半平面内,11/19,12/19,3、计算,引理6.2,(约当Jordan引理)设：,g,(
4、,z,)沿半圆周,上连续,在 上一致成立.则,证 对于任给,0,R,0,0,使当,R,R,0,时,有,型积分,于是,就有,R,13/19,(6.13),这里利用了,以及,于是,由(约当不等式),将(6.13)化为,14/19,15/19,尤其说来,将(6.14)分开实虚部,就能够得到形如:,定理6.8 设,满足条件:,则,(1),),0,(,Q,(,z,),0,(,P,(,z,),(2),Q,(,x,)0,x,R,(3),m,0.,(6.14),16/19,例3、计算积分,解:,而,故先计算以下积分,17/19,例4、计算积分,解：,18/19,(,r充分小)上连续,且,于 上一致成立,则有,引理6.3 设f(z)沿圆弧,证 因为 于是有,与引理6.1证实相仿,得知上式存在r充分小时,其值不超出任意给定正数 .,19/19,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
