1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,数学物理方法,李晓红,西南科技大学理学院,1/11/2025,1/33,复变函数积分定义,复变函数积分性质,柯西定理,柯西积分公式,复变函数积分,2/33,复变函数积分,.积分定义：,3/33,说明：,(1)当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在；,(2)能够经过两个二元实变函数线积分来计算.,4/33,复积分基本性质,(1)若,f,(,z,)沿,L,可积，且,L,由,L,1 和,L,2 连接而成，则,(2)常数因子
2、,k,能够提到积分号外，即,(3)函数和（差）积分等于各函数积分和（差），即,5/33,(4)若积分曲线方向改变，则积分值改变符号.,即,其中，,L,-,为,L,负向曲线,闭曲线正方向：曲线上点顺此方向沿该,曲线前进时，邻近P点曲线内部一直位于P点,左方,6/33,0,x,y,1,1,1+i,7/33,0,x,y,1,1,1+i,解法一,8/33,9/33,例 计算 其中,C,以,z,0,为,中心，,r,为半径正方向，,n,为整数,解：方程为,所以：,10/33,结论：与积分路线圆周中心及半径无关,11/33,柯西定理,假如函数在单,连通区域内处处解析那么函数,沿内任何一条封闭曲线积分为零,柯
3、西定理：,假如曲线是区域边界，在内及,上解析即在闭区域上解析,则,12/33,柯西古萨积分定理,注：经修改后柯西古萨积分定理成立条件能够弱化为,在区域,D,内解析，在边界上连续,以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理依然成立,这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表，,古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为,柯西古萨定理,.,13/33,柯西定理推论,14/33,这个定理可用来计算周线内部有奇点积分!,柯西定理2,15/33,柯西积分公式,有界区域单连通柯西积分公式,定理 （柯西积分公式）假如 在有界区域D处处解析，L为D内任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D,为L内
4、任一点，那么,称为柯西积分公式。,16/33,柯西积分公式,意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上值，那么经过上述积分公式，区域内部点上值就完全确定了,结论：假如两个解析函数在区域边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,17/33,设,f,(,z,)在区域,D,内解析，在边界,C,上连续，则,任意阶导数,在区域,D,内函数,f,(,z,)任意阶导数存在，且：,2.Morera 定理,：设函数,f,(z)在区域,D,内连续，且沿区域内任,意围线积分为零，则该函数在区域,D,内解析。,柯西积分公式主要推论,18/33,例 计算 其中,C,以,z,0,为,中心，,r,为半径正方向，,n,为整
5、数,19/33,20/33,1,y,1,C,1,O,L,x,1,C,2,21/33,解题思绪,1,y,1,C,1,O,L,x,1,C,2,22/33,23/33,计算积分,24/33,【解】（1）注意到 在复平面内解析，而,-,i,在积分环路C内，由柯西积分公式得,（2）注意到函数 在 内解析，而,i,在 内，由柯西积分公式得,25/33,【,解,】依据柯西积分公式，得到,故得到,26/33,任何两个原函数相差一个常数,27/33,不定积分定义,:,定理,(复积分Newton-Leibnitz公式),28/33,例题,29/33,例2,计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,30/33,例3 计算积分,可用分部积分法得,【解】因为,在复平面内处处解析，,31/33,复变函数积分计算方法总结,方法一,方法二,方法三,方法四,32/33,作 业,P31：2-10（任选1个）；,P31：2-11（任选2个）；,P32：2-12；,33/33,
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