1、第13讲 垂直的判定与性质
1. 线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥
3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）
5. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平
2、行）
6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直）
【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
【例4】已知，斜边BC//平面， AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面
3、的距离.
【例5】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,
（1）证明：C1C⊥BD； （2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.
【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.
4、
【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．
【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
【例5】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD； （2）求证：EF∥平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
5、
A
C
α
B
a
【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.
【例4】三棱锥中，三个
6、侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.
【例5】在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM=MA1吗？请你叙述判断理由.
【例6】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（
7、1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的大小.
【例7】如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.
（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；
（2）证明：EF∥面ABCD；
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）
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