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不等式(组)与方案设计
河北 欧阳庆红
方案决策型题是近年兴起的一种新题型，它的特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点.此种题型考查考生的数学应用意识强，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐.下面以中考题为例加以说明，以飨读者.
例1:（烟台市）小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有千克面粉，千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工一盒一般糕点需千克面粉和千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需千克面粉和千克鸡蛋．
（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？
分析: （1）设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒. 根据加工一盒一般糕点和精制糕点需要的面粉和鸡蛋数均小于等于千克，得不等式组， 解不等式组，根据为整数取值，可得三种加工方案. （2）销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为元和元，
说明销售精制糕点数越多利润越大，选加工精制糕点最多的方案求最大利润.
解：（1）设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒
根据题意，满足不等式组：

解这个不等式组，得．
因为为整数，所以．
因此，加工方案有三种：加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；加工一般糕点26盒、精制糕点24盒．
（2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时，可获得最大利润．
最大利润为：（元）．
例2:（山东省青岛市） “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．
（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．
分析: （1）385名师生乘坐42座的客车，需要(385÷42≈9.2) 10辆， 租金为320×10＝3200元; 385名师生乘坐60座的客车，需要(385÷60≈6.4) 7辆， 租金为460×7＝3220元．
（2）设租用42座客车 x 辆，则60座客车（8－x ）辆，根据题意得两个不等关系:8辆车的座位数大于且等于385; 8辆车的租金小于且等于3200元.由此可得不等式组，由不等式组的正整数解求出租车方案，进而找出最节省的租车方案来.
解：（1）385÷42≈9.2
∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元．
385÷60≈6.4
∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．
（2）设租用42座客车 x 辆，则60座客车（8－x ）辆，由题意得：

解之得：≤x≤．
∵x取整数， ∴x ＝4，5．
当x＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3120元；
当x＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2980元．
答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少
例3：(04黑龙江)为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备. 现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下：

A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗量（万元/台）
1
1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.
⑴请你为该企业设计几种购买方案;
⑵若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案?
⑶在第（2）问的基础上， 若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水的费用每吨10万元，请你计算该企业自己处理污水与将排放到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
分析: （1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10-x）台，则购买资金为12x+10（10-x），根据购买设备的资金不高于105万元列出不等式12x+10（10-x）≤105，根据x为非负整数，对x取值，得到三种购买方案; （2）每月处理的污水量应大于等于每月产生的污水量，于是得不等式240x+200(10-x)≥2040，通过解不等式确定x的值，得到两个节约资金的购买方案. （3）分别计算10年该企业自己处理污水的总费用和将污水排到污水厂处理需要的费用，然后计算两者的差即可.
解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10-x）台，
由题意，得12x+10（10-x）≤105，
解得x≤2.5.
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
∴有三种购买方案：购买A型0台，B型10台；购买A型1台，B型9台；购买A型2台，B型8台.
（2）由题意，得240x+200(10-x)≥2040，
∴解得x≥1，
x为1或2.
当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102（万元）;
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元）.
∴为了节约资金，A型1台，B型9台.
（3）10年该企业自己处理污水的总费用为102+10×10=202（万元）.
若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为2040×12×10=2448000(元)=244.8（万元）.
244.8-202=42.8（万元）.
∴节约资金为42.8万元.