辽宁省重点高中协作体2011年高考夺标预测试卷07数学[内部资料].doc

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辽宁省重点高中协作体
2011年高考夺标预测试卷（七）
数学[内部资料]

一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则等于
A． B． C． D．
2．化简的结果是
A． B． C． D．
3．设是等比数列，若，则等于
A．6 B．8 C．9 D．16
4．双曲线的离心率为
A． B． C． D．
5．已知向量a·b= a | =4，a和b的夹角为，则| b |为
A．1 B．2 C．4 D．
6．已知直线与圆相切，则实数的值是
A．0 B．10 C．0或 D．0或10
7．已知三条直线的方程分别是，和，则这三条直线所围成的三角形面积为
A． B．3 C． D．6
8． 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数 的图象，则的图象
A．关于原点对称B．关于轴对称
C．关于点对称D．关于直线对称
9．已知某算法的流程图如右图所示，则输出的结果是
A．3 B．4
C．5 D．6
10．如图，在正方体中，、、分别是
棱、、的中点，则下列结论中：
①；②；
③；④.
正确结论的序号是
A．①和② B．③和④
C． ①和③ 　　D．②和④
11．下列说法正确的是
A. 若，则
B. 函数的零点落在区间内
C. 函数的最小值为2
D. “”是“直线与直线互相平行”的充分条件
12 设函数 其中，，则的最大值为
A. 0 B. 1　　　 C. 2 D. 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知是奇函数，则其图象在点处的切线方程为 ．
14．在长40厘米，宽30厘米的游戏屏幕上飘飞着5个直径均为
4厘米的圆形气球，每个气球显示完整且不重叠．游戏玩家
对准屏幕随机射击一次，则击中气球的概率为　　　　　．
15．一个空间几何体的三视图如右图所示，其正视图、侧视图、
俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的
外接球的表面积是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
16．正整数的三次幂可拆分成几个连续奇数的和，如右图所示，
若的“拆分数”中有一个数是2009，则的值为 ．
三、解答题：本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．

A
B
C
D
E
F
G
P
18．（本小题满分12分）
如图，，其中四边形是正
方形，是等边三角形，且，点、分别是
、的中点．
（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若点在线段上运动，求证：．

19．（本小题满分12分）
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若在数列的每相邻两项和之间各插入一个数，使之成为新的数列，
为数列的前项的和，求的值．

20．（本小题满分12分）
某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．
（Ⅰ）求每个报名者能被聘用的概率；
（Ⅱ）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：
分数段
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
人数
1
2
6
9
5
1
请你预测面试的切线分数大约是多少？
（Ⅲ）公司从聘用的四男、、、和二女、中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？

21．（本小题满分12分）
已知椭圆：的两个焦点的坐标分别为、，点P在椭圆上，且的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程和的外接圆的方程；
O
x
y

（Ⅱ）为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于、两点，且、均不在x轴上，设直线、的斜率分别为、，求的值．

22．（本小题满分14分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）令，以其图象上任意一点为切
点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当，时，方程有唯一实数解，求正数的值．

数学试卷（七）参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）在中，因为，
所以. ……………………………（3分）
所以
. …………………………（6分）
（Ⅱ）根据正弦定理得：，
所以. ……………………………（9分）
所以.
18．本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想像能力，推理论证能力和运算求解能
力. 满分12分.
解：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，……………（2分）
A
B
C
D
E
F
G
P
M
所以．
（Ⅱ）取DE中点M，连结MG、FM，
//
=
//
=
//
=
因为MG AD，BF AD，所以MG　BF，
四边形FBGM是平行四边形，所以BG//FM.（6分）
又因为FM平面EFD，BG平面EFD，
所以BG//平面EFD. ………………（8分）
（Ⅲ）因为DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）
　又BG⊥AE，ADAE＝A，
所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………（12分）
19. 本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识，考查运算求解能力及推理能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为，依题意得： ………（2分）
解得： ………………………………………………………（4分）
所以数列的通项公式为. ………………………………（6分）
（Ⅱ）依题意得………………（9分）
. ………（12分）
20. 本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识. 满分12分.
解：（Ⅰ）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：
.
答：每个报名者能被聘用的概率为0.02. ………………………………………（4分）
（Ⅱ）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：
　　 ，解得：，从表中可知面试的切线分数大约为80分.
答：可以预测面试的切线分数大约为80分. ……………………………………（8分）
（Ⅲ）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,

(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15种.
选派一男一女参加某项培训的种数有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8种
所以选派结果为一男一女的概率为.
答：选派结果为一男一女的概率为. …………………………………（12分）
21．本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、
解决问题的能力. 满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，,所以
又，所以，椭圆C的方程为 ………（3分）
因为，所以，可求得或，…（5分）
所以的外接圆D的方程是或．
………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）得，，
可得，所以．…………………………………（8分）
当直线的斜率存在时，设其斜率为，显然，
则直线的方程为，设点，
将代入方程，并化简得：
……………………………………（9分）
可得：，， ……………………（10分）
所以
综上，． ………………………（12分）
22．本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，考查运用导
数研究函数性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为. …………………………………（1分）
当时，，
. ………………………………（2分）
令，解得.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减. ……………………………（3分）
所以的极大值为，此即为最大值 . ……………………（4分）
（Ⅱ），
所以，在上恒成立，………………（6分）
所以 ，…………………………………（7分）
当时，取得最大值．所以． ………………（9分）
（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解．设，则.
令，得．
因为，
所以（舍去），， ………（10分）
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
当时，，取最小值. ……………………（11分）
因为有唯一解，所以．
则，即
所以，
因为，所以． …………………………（12分）
设函数，
因为当时，是增函数，所以至多有一解． ………（13分）
因为，所以方程的解为，即，
解得 ……………………………………………（14分）

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