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白水高二奥赛11月周考数学考卷

一、选择题（题型注释）
1．若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a2－1=0垂直，则实数a的值为（ ）
A．－ B．0 C．1 D．0或－
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆 相交于两点，．若点在圆上，则实数 （ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点关于XOY面对称的点的坐标是
A． B．
C． D．
4．据如图的流程图可得结果为（ ）

A．19 B．67 C．51 D．70
5．用秦九韶算法计算函数的值，
若，则的值是
A． B． C． D．
6．观察两个变量（存在线性相关关系）得如下数据：

则两变量间的线性回归方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设样本数据的均值和方差分别为和，若为非零常数，，则的均值和方差分别为 ( )
A. B. C. D.
8．如图所示，一游泳者自游泳池边AB上的D点，沿DC方向游了10米，∠CDB=60°，然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB边的概率是（ ）

A． B． C． D．
9．有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )

A.4320 B.2880 C.1440 D.720
10．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
窗口
1
2
过道
3
4
5
窗口
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

A．48，49 B．62，63
C．75，76 D．84，85
11．在二项展开式中，（ ）
A．1024 B．512 C．256 D．128
12．已知，则＝（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷．则抽到的人中,做问卷的人数为 ．
14．已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为 ．
15．设（，）是的展开式中x的一次项系数，则 ．
16．若，则 ．

三、解答题17．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为 （a＜0），存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．

（1）若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；0.016
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高(cm)
0.04
0.06
0.008

身高（cm）
O

（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．
18．从某校高一年级800名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米和195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组，第二组，……，第八组，得到频率分布直方图如右．

（Ⅰ）计算第七组[185，190）的样本数；并估计这个高一年级800名学生中身高在170厘米以下的人数；
（Ⅱ） 求出这100名学生身高的中位数、平均数．
19．已知二次函数＝，，．若是从集合A中随机取的一个实数，是从集合B中随机取的一个实数，求关于的方程=0一根在区间内，另一根在外的概率．
20．（本题12分）已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992。
（1）求展开式中含有的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项。
21．（本小题满分18分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
日 期
1月11日
1月12日
1月13日
1月14日
1月15日
平均气温（°C）
9
10
12
11
8
销量（杯）
23[]
25
30
26
21

（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程．
（参考公式：．）
22．
在平面直角坐标系中，已知直线：，圆，圆．
（1）当时，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若圆与圆关于直线对称，求的值；
（3）在（2）的条件下，若为平面上的点，是否存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案
1．D．2．C3．C4．D5．A6．B7．A8．A4
9．A10．D11．B12．D
13．10 14． 15．17 16．
17．（1）第14天．（2）－4＜a＜0．
解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，
由题意知，y2＝（x－t）＋ （t＞4），
所以y＝y2－y1＝（x－t）＋－ （t＞4．
（1）当a＝－1，t＝5时，
y＝（x－5）＋－＝－＋1≤－2＋1＝，
当且仅当x＝14时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
（2）y＝（x－t）＋－＝－＋－－
≤－2＋，
当且仅当－＝，即x＝（t＋4）－4时取等号，
由题意（t＋4）－4＞t，所以－4＜a＜0．
18．（1）256（2），
（Ⅰ）由第七组的频率为，
则其样本数为
由，则高一年级800名学生身高低于170厘米的人数为（人）
（Ⅱ）从图中易知由前四组的频率为，
，则在第四组中，由知，
所以中位数为
平均数为：
（cm）
19．
解：设事件为“关于x的方程=0一根在区间内，另一根在外”．
试验的全部结果所构成的区域为．

若满足事件A，须
即
即
构成事件的区域为
表示的区域如图所示的阴影部分
其中，，，，，
阴影部分的面积为
区域的面积为
事件的概率为
=0一根在区间内，另一根在外的概率为

20．令得展开式各项系数和为，二项式系数为
由题意得：，解得 2分
（1）
当 ∴ 4分
（2）∵ ，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项
∴， ．．8分
（3）展开式中第项系数最大
∴,
∴ ∴ = 12分

21．（12）
（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件．
所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13）（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．……6分
事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．
∴ ．
（2）由数据，求得，．
，
∴关于的线性回归方程为．
考点：1．等可能事件的概率；2．考查线性回归方程的求法
22．（1）两圆相离；（2）；（3）和
（1）时
圆的圆心 半径
圆的圆心 半径
圆心距
两圆相离
（2）圆圆心 半径
与关于直线对称，又直线的斜率
由 得，即的值为0
（3）假设存在满足条件： 不妨设的方程为
则的方程为
因为圆和圆的半径相等，又直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆的圆心到直线距离，和圆的圆心到直线的距离相等：即
整理得
即或
即或
因为取值无穷多个
所以或解得或
这样的点可能是，
经检验符合题意
所求点的坐标为和

答案第3页，总5页