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第一讲 数学的总体思想和学习方法
数学的思想和学习方法：
一．数学是一门有用的基础学科，是建立在一定假设上的现实生活的抽象模型。
数学研究问题，寻求算法。其实数学的本质就是发明算法和简便算法，而这两点是基于一定的数学模型，建立的数学模型是否恰当会影响算法是否简便。但幸运的是，我们考虑的不是建模，而是算法，更幸运的是我们是去发现算法而不是发明他们。这样，我们要学习的就是现成的算法了。（说算法还不是很准确，准确的说是证明题目的方法）
尽管如此，现成的算法也是不计其数，这些人类智慧的结晶足以消耗人的一生，因此我们需要找到适当的方法来学习他们。理解和记忆算法是十分重要的，当你有了一定的基础后，当真正理解并能运用自如是，就大功告成了。
高中的数学就是简单的一些算法，当你全部掌握后就是一个字------算。但怎样才能掌握这些方法呢？就需要做到以下几点：
1.上课认真听讲,下课认真完成作业,注意一定要听懂并理解老师讲的所有的方法，这是十分重要的，是为之后的学习打下基础，记住，决不能拖帐。
2.要不断地练习，只有练习才能让你对知识更加熟悉，才能将老师讲的东西转换成自己的东西，才能让你见到更多的题型并掌握更多的方法，积累更多的经验和教训，才能让你的运算速度就是比别人快，让你总是“高人一等”。
3.回顾，总结，建立自己的知识体系。
当你可以把自己的东西教给别人，你就真正学会了这样东西。
高中的数学其实是很简单的，只要你愿意花时间，任何人都可以学好数学，但什么人能以最短的时间学会才是最厉害的，也为其他的事情腾出了时间。
那么怎样才能节省时间呢？做到上面的三点就可以了：
学会----------练习----------巩固
当你建立了你自己的知识体系，你就可以对题目应对自如了，至少，别人会的我会，别人不会的只要答案会我也会。
当然，若你希望走得更远，你就应当学着发明而不是发现，多多的体会每一道经典的题目，多多的总结，多想，多干。
随时记录自己的灵感，不要让灵感从指尖溜走，多阅读课外书籍（不管是那个学科的），多思考，多看哲学书。

二．之前的这些是我好久以前写的，总体上还是有一定的道理的，我这里再补充一些。
高中的数学有的人觉得难或许是有智力的因素，是有好多笨的人，但是作为笨人代表的我可从来不愿意承认自己笨，所以我可以学好数学来伪装自己的笨，后来发现笨人也可以学好数学，后来渐渐地还变得聪明了，是怎么回事呢，我的学习经历大概有这样的一个过程。
最开始和大家一样都是拿到题目做不来，可是我不服气，不爽之下我就把那些题目给抄下来，之后每次都看那些做不来的题目，经过这样一段时间之后我的平面几何就成为我的强项了，因为没有我做不来的，做不来的我都背了。可并不是所有的背题的人都成我这样了，还有好多的人却是继续地差，为什么呢？原来关键还是在于背题的目的，背题的时候不是为了单纯背住这一道题的解法，是为了体会这一类型题目的方法，其实就是想每一步为什么要那么做，要是我自己做该怎么做呢，要注意力集中地去背不但背题的效率高，做不来的题目也减少了，背题是我学习的第一个诀窍。
而最必须的也是最重要的其实还是基础的牢固，就像我之前出的测试题，大家又有几个是做的轻而易举呢，要想成为高手，就得先把最基本的搞懂。将书上的最基本的知识点先全部掌握，记住全部的简要证明（主要是记思路），然后要达到自己可以复述书上的任何一个定理的境界才是多做题的前提，当然用做题的方法来巩固学习也是可以的，反正在考试之前要是还有什么概念不清楚，还有什么知识不知道，这就是学习的不好、方法不对。
养成良好的学习习惯也是很重要的，每天都搞懂每天所学的新内容，定期检测自己的知识体系，这些最好都要养成习惯。而随时记录自己的灵感和想法更是自己不断进步的必要条件，所以至少要有一个本子来干这些事情，我初中的时候数学的本子就是特别多，我想这也算一个学习方法吧。对于错题，好题，强烈建议同学们用本子抄下来，之后多看，这是非常有效的背题的前提，将自己的错题好题本上的题目都搞懂，不断地攻克自己不会的，那么还有什么可以阻挠自己进步呢。
将不会的题，不懂的方法记录下来，一定要及时解决它们，大家要坚信问题是不会自己解决的，并且是越堆越多，最后到自己不得不重新开始，所以连贯性地学习是非常重要的。
艾宾浩斯记忆法是学习的精髓，在学习的时候一定要多次完成，不要妄想一次就可以学的很好了，记忆的曲线大家都清楚，所以及时复习多次复习不断加深所学的内容是建立自己数学体系所必须要干的事。
最后的一点就是一定要做到上面的几点，特别是多想和多次学习，只有不断重复地效率学习才可能取得好的成绩，大家都不愿意做笨孩子，所以在这一点上大家最好还是选择好的学习方法，每时每刻提醒自己，不断完善自己，最后建议大家多思考问题，这不管对学习还是对自己的成长都是很有帮助的。
题目：
1． If n∈ N*，prove that：（1+1n）n+1+（1+1n+1）n+1>（1+1n）n+（1+1n+1）n+2.
2． Estimate the value of s, while s=1+122+132+…+1n2+1(n+1)2+… .
3． 给定函数数列an(x)、bn(x)，定义运算（f(x), g(x)），若对an(x)、bn(x)有（ai, aj）=（ai, bj）=（bi, aj）=（bi, bj）=0，当i≠ j，而当i= j时上面的四个式子都等于1。
若现在已知函数f（x）可以表示成为an(x)和bn(x)线性和，那么用an(x)、bn(x)和（u（x），v（x））表示f（x）（其中u、v可以取a（x）、b（x）、f（x））。
4． 设有函数到函数的映射A、B，又已知如果B（f（x））=F（x），则有B（A（f（x）））=xF（x）-f（0）
对于映射B还有以下的性质：（a）B（1）=1x （b）如果有f=g，且B（f）=F and B（g）=G，则有F=G （c）B（af（x））=aF（x） （d）B（eax）=1x-a （e）B是一一映射
解下面的方程：aA（f（x））+bf（x）=c ，f（0）=0.
注：上面的a、b、c均为常数。
5． Let n∈ N*, then prove that：12+13+…+1n1
6． 证明柯西不等式。
7． 人总是要死的，死了之后不是下地狱就是上天堂。
在死的旅途中有两条路分别通向地狱和天堂，并且在分叉口你可以做出选择，但是你并不知道哪条路是上天堂的，幸好分叉口有一个菩萨，你可以向他问一个问题，但是那个菩萨的回答只是摇头或点头，并且他的回答可能是真话也可能是假话，那么，请用你聪明的头脑想出一种问法，让你通向天堂。
8． 证明素数无穷多。
9． 解方程：22007+x200722008+x2007+32007+x200732008+x2007+62007+x200762008+x2008=1
10． 证明凹凸函数定理，一些简单的凹凸函数应用。
11． 12个外观相同的球中只有一个和其他的质量有略微不同，且可以用任何天平称出，但现在只有一个没有砝码的天平（两臂是相同的），并且只让你称3次，可以称出吗？
那么39个球呢，需要多少次？
12． 甲乙进行100米赛跑，甲跑到终点时乙还有10米，现在让甲退后10米，再和乙比赛，谁赢？
13． 兔子追乌龟：怎么让兔子永远追不上乌龟呢，你不信？跟着我的思路吧：我们设想兔子和乌龟在一条直线上进行比赛，乌龟在前面（当然兔子比乌龟跑得快哦）。现在开始跑了，不一会兔子就跑到乌龟开始的位置啦，可乌龟才前进了一点距离，跑到了a1点。又一会儿，兔子又到了乌龟上次的地方a1，乌龟又前进到了a2。兔子又开始追，当它到a2 时，乌龟又前进到了a3。你会发现，每次兔子到上次乌龟的地方an时，乌龟就已经前进到了前面的另一个地方an+1了，而兔子追到an+1这个地方时，乌龟又前进到了新的一个地方an+2啦。天啦，我们可怜的兔子不就要永远这样追下去吗，那它还追得上乌龟吗？哈哈，那么问题是出现在哪里呢？
14． 求2+2+2+…的值。
15． 求12+12+12+…的值。
16． 找出下面推倒的错误:abc=abc, → (ab)c=a(bc)→ 取对数得：clnab=bclna→ cblna=bclna(当a≠1时)→ bc=bc,即是：c=bc-1→ 显然，这里的ab，c是任意取的，所以我们只要让c固定，再让b来变就会出现矛盾不是么？
17． 已知f（x）在（0，+）上为增，且f（x）f（f（x）+1x）=1，求f（1）。
18． 试证明对于任意的封闭平面曲线，在其内取一点，必定可在曲线边缘上找到两个点关于此点对称。

19． 人甲从A沿直线出发,已知他的速度与他离开A的距离成反比,当他走了2km时,速度是3m/s,他又走了1km,那么他这１km走了多久?
20． 分别在三角形中找一点使得此点到三角形三边与三定点的距离之和最小.
21． 证明塞瓦定理。
22． 简单的函数论分析。例题：二次函数分析和圆方程分析。

大胆尝试，只有这样才有做出题目的希望。 20090622 by袁骁