1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第二节,一、对坐标曲线积分概念与性质,二、对坐标曲线积分计算法,三、两类曲线积分之间联络,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标曲线积分,第十一章,第1页,一、对坐标曲线积分概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作功,.,设一质点受以下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“,分割”,“,近似”,“,求和”,“,取极限”,常力沿直线所作功,处理方法,:,动过程中变力所作功,W,.,机动 目录
2、上页 下页 返回 结束,第2页,1),“,分割,”,.,2),“,近似,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,3),“,求和,”,4),“,取极限,”,(,其中,为,n,个小弧段,最大长度,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,2.,定义,.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,一条,有向光滑,弧,若对,L,任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲
3、线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,在 空间曲线弧,上对坐标曲线积分,为,:,称为,称为,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对,y,曲线积分,.,对,x,曲线积分,;,第6页,3.,性质,(1),若,L,可分成,k,条与,L,同向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分特例,.,说明,:,对坐标曲线积分必须注意积分弧段,方向,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,二、对坐标曲线积分计算法,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,参数方程为,则曲线积分,连续,存在
4、且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,:,不一定小于,.,第8页,尤其是,假如,L,方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,解法,2,取,y,为参数,则,从点,一段,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,例,2.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解,:,(1),取,L,参数方程为,(2),取,L,方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回
5、结束,第11页,例,3.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,例,4.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取,参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,三、两类曲线积分之间联络,设,L,参数方程为,则,L,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,所以,L,切向量方向余弦为,第14页,类似，有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则两类曲线积分有以下联络,第15页,例,5,.,将积分,化为对弧长积,分,解：,其中,L,沿上半
6、圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,L,切向量为,则,L,切向量方向余弦为,所以,因为,L,方程为,第16页,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,反向弧,对坐标曲线积分必须注意,积分弧段方向,!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,4.,两类曲线积分联络,对空间有向光滑弧,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,原点,O,距离成正比,思索与练习,1,.,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提醒,:,F,大小与,M,到原,F,方向,力,F,作用,求力,F,所作功,.,思索,:,若题中,F,方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,2.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,提醒,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,3.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,ox,轴正向看去为逆时针方向,(1),写出曲线,C,参数方程,;,(2),计算曲线积分,解,:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,(2),原式,=,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,
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