多边形的内角和与外角和.doc

9.2多边形的内角与与外角和（一）
知识技能目标
1.理解多边形的概念和正多边形的概念；
2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.
过程性目标
1.联系三角形的概念，三角形的内角和外角的概念，经历探索多边形和多边形内角、外角的概念；
2.结合实践与应用，充分感受正多边形的意义，体会多边形与三角形之间的相互关系及转化.

一、创设情境
问题1 什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？

二、探索归纳
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.
记作：△ABC．

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD．
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE．
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n
边形，又称为多边形.
注意 (1)我们现在只研究多边形，如图(2) ，(3)；
(2)图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.
与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.

问题 (1)五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？
答 五边形有5个内角，10个（5对）外角；
六边形有6个内角，12个（6对）外角.
(2)n边形有多少个内角？多少个外角？
答 n边形有n个内角，2n个（n对）外角.
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

如图(9)线段AC是四边形ABCD的一条对角线；
如图(10)线段AC、AD是五边形ABCDE的对角线；
如图(11)线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线.
如图(9)、(10)、(11)可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？

结论　n边形的内角和为(n-2)·180°.

三、实践应用
例1 求八边形的内角和的度数.
解　(n-2)·180°=（8-2）×180°=1080°.

练习 十边形的内角和是多少？若十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是多少度？

例2 (1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数；
(2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形？
解 (1)设边数为n，则有
(n2)·180°=2340°
n-2=13
　　　　　　　　 n=15；
(2)设这个多边形为n边形，则有
(n-2)·180°=150°n
n=12
这个就是十二边形.

练习 (1)一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是　　边形；
(2)一个多边形的每一个内角都是120°，则这个多边形是　　边形.

四、交流反思
多边形的内角、外角及对角线的概念和多边形的内角和定理,通过把多边形划分若个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°.

五、检测反馈
1.先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？
2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2∶3∶4，那么这三个内角的度数分别是多少？
3.一个多边形的内角和等于1080°，求它的边数.
4.一个多边形的每一个外角都等于144°，求它的边数.
9.2多边形的内角与与外角和（二）
知识技能目标
1.理解多边形内角和的各种推导方法；
2.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.
过程性目标
1.联系多边形的内角和定理，三角形内角和定理，多边形内角与外角的关系，经历探索多边形的外角和定理；
2.结合实践与应用，充分感受多边形内角和，多边形外角和定理，体会多边形内角和、外角和的相互关系及转化.

一、创设情境
如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.

二、探究归纳
因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180°
又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于360°）
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
四边形的外角和等于360°.
根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表

结论：n边形的内角与外角的总和为n·180°；
n边形的内角和为(n-2)·180°；

那么多边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°
=n·180°－n·180°+360°=360°；
因此：任意多边形的外角和都为360°.
注：多边形的外角和与边数无关.

三、实践应用
例1 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.
分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是3600.
解 设一个外角为x°，则内角为(x+36)°
因为多边形的内角与相邻的外角互补；
所以 x+x+36=180
解得 x=72
360÷72=5
答 这个多边形的五边形.

练习：1.一个多边形的外角都是45°，则这个多边形是几边形？
2．多边形的每个外角都是相邻内角的，则此多边形是几边形？内角和、外角和分别是多少？

例2 (1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？

解 (1)四边形有两条对角线，
(2)如图2，以A为顶点的对角线有两条AC、AD同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，那么n个顶点就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n边形一共有条对角线.

例3 已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.
解 (1)(n-2)·180°=1440°
n=10
(2)n-3=10-3=7
（3）
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线.

四、交流反思
多边形的外角和定理及多边形对角线条数的计算方法.

五、检测反馈
1.在n边形某一边上任取一点P，连结点P与多边形每一个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于(n-2)×180°?（图中取n=5的情形）

2．根据图填空：
(1)∠1=∠C+ ，∠2=∠B+ ；
(2)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= +∠1+∠2= ；
想一想，这个结论对任意的五角星是否成立？
3.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数；
4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数；
5.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.