中考“代数式”热点题型分类解析(含答案)-.doc

2006年中考“代数式” 热点题型分类解析

【专题考点剖析】
本专题包括整式、因式分解、分式、二次根式四部分内容，重点考查对本部分基础知识的理解运用能力．其中因式分解、分式两部分常与方程结合在一起进行考查．中考命题的热点是对二次根式性质的化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让学生在探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力．主要考点有：
（1）掌握合并同类项的方法，去（添）括号法则，理解乘法公式的意义，灵活运用五个乘法公式进行运算；
（2）灵活运用各种方法进行因式分解；
（3）理解分式的有关概念，明确分式什么情况下有意义、无意义、值为0．
（4）能利用分式性质熟练进行分式的运算．
（5）会化简二次根式，并进行加、减、乘、除运算．
【解题方法技巧】
本专题主要考查用字母表示数、运算能力、观察能力、解决实际问题能力以及探索、发现问题的能力．
例 （2006，沈阳）先化简，再求值（x+1-，其中x=5-4．
分析：此类题目一般先运用分式的运算规律及因式分解等方法技巧，把原式化成较简单的代数式，再代入求值．
解：（x+1-
=
=
=x+4．
把x=5-4代入上式，
原式=5-4+4=5．
【热点试题归类】
题型1 整式
1．（2006，盐城）已知x-y=2，则x2-2xy+y2=_________．
2．（2006，黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．2x5-3x3=-x2 B．2+=2
C．（-x）5·（-x2）=-x10 D．（3a6x3-9ax5）÷（-3ax3）=3x2-a5
3．（2006，浙江台州）下列计算正确的是（ ）
A．3x-2x=1 B．3x+2x=5x2 C．3x·2x=6x D．3x-2x=x
4．（2006，晋江）下列运算正确的是（ ）
A．（x-1）0=0（x≠1） B．x6÷x3=x2
C．x2·x3=x6 D．x-p=（x≠0，p为正整数）
5．（2006，旅顺口）计算-23是（ ）
A．-8 B．8 C．-6 D．6
6．（2006，盐城）x3·x2的运算结果是（ ）
A．x B．x3 C．x5 D．x6
7．（2006，绵阳）计算：a4·a3÷a2=（ ）
A．a3 B．a4 C．a5 D．a6
8．（2006，浙江台州）计算+│-2│-（3-）0．

9．（2006，温州）（-1）0+2sin30°+（）2．

题型2 因式分解
1．（2006，福建泉州）分解因式：x2-4=_______．
2．（2006，绵阳）因式分解：x2-81=______．
3．（2006，黄冈）将a3-a分解因式，结果为_______．
4．（2006，青岛）分解因式：4a3-4a2+a=______．
5．（2006，哈尔滨）分解因式：x2-y2-4x+4=________．
6．（2006，成都）把a3+ab2-2a2b分解因式的结果是________．
7．（2006，攀枝花）分解因式：a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）=________．
8．（2006，白云区）分解因式：x3+5x2+6x．

题型3 分式
1．（2006，浙江绍兴）当x=________时，分式的值为0．
2．（2006，江西南昌）若分式的值为零，则x的值为_______．
3．（2006，浙江）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
4．（2006，旅顺口）已知两个分式：A=，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
5．（2006，深圳）化简：=________．
6．（2006，南京）计算：．

7．（2006，温州）计算：．

8．（2006，绵阳）化简：．

9．（2006，晋江）化简求值：，其中x=-3．

题型4 二次根式
1．（2006，黄冈）化简=________．
2．（2006，广安）如果最简二次根式是同类二次根式，则a=_______．
3．（2006，大连）计算-的结果是（ ）
A． B．2 C． D．1.4
4．（2006，白云区）下列计算正确的是（ ）
A．4×2=6 B．5×5=5
C．2×3=6 D．3×5=15
5．（2006，盐城）根式的值是（ ）
A．-3 B．3或-3 C．3 D．9
6．（2006，旅顺口）计算-的结果是（ ）
A．3 B． C．2 D．3
7．（2006，烟台）计算：．
8．（2006，哈尔滨）先化简，再求值：
，其中x=sin45°·cot60°．

题型5 综合与创新
1．（2006，广安）已知2式a2-ab的值是_______．
3．（2006，成都）下列运算正确的是（ ）
A．4a2-（2a）2=2a2 B．（-a2）·a3=a6
C．（-2x2）3=-8x6 D．（-x）2÷x=-x
4．（2006，沈阳）估算+3的值（ ）
A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间
5．（2006，白云区）计算：．

6．（2006，成都）先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x-1）-（2x-1）2，其中x=-．

7．（2006，攀枝花）请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：a+（1-a）+．

题型6 中考新题型
1．（2006，兰州）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规律，方程（x+2）*5=0的解为_______．
2．（2006，沈阳）观察下列等式21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；……．通过观察，用你所发现的规律确定22006的个位数字是________．
3．（2006，浙江绍兴）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算：超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．
（1）若要寄一封重35克的信函，则需贴邮票多少元？
（2）若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多少重？
（3）七（1）班有九位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少．

4．（2006，青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图2-1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+…+n=．

（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

5．（2006，攀枝花）先阅读下列材料，再解答后面的问题：
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为an．如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
问题：（1）计算以下各对数的值：
log24=________；log216=_________；log264=________．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24，log216，log264之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaN+logbN=_______（a>0且a≠1，M>0，N>0）
根据幂的运算法则：an·am=am+n以及对数的含义证明上述结论．

【热点试题详解】
题型1
1．4 点拨：x2-2xy+y2=（x-y）2=4．
2．D 3．D
4．D 点拨：（x-1）0=1，而x6÷x3=x6-3=x3，本题考查幂的运算性质．
5．A 6．C
7．C 点拨：本题利用同底数幂的乘除法，a4·a3÷a2=a4+3-2=a5．
8．2+1
9．解：（-1）0+2sin30°+（）2=1+2×+3=5．
题型2
1．（x+2）（x-2） 2．（x+9）（x-9）
3．a（a+1）（a-1） 点拨：先提取公因式再因式分解．
4．a（2a-1）2 点拨：先提取公因式再利用完全平方式．
5．（x-2+y）（x-2-y）
点拨：本题首先要合理分组（x2-4x+4）-y2=（x-2）2-y2，
然后再运用平方差公式分解因式．
6．a（a-b）2 7．（x-y）（a+b+c）
8．x3+5x2+6x=x（x2+5x+6）=x（x+2）（x+3）．
题型3
1．x=0 点拨：分式值为零
2．1 点拨： 解得x=1．
3．C
4．C 点拨：B=，所以A+B==0，
所以A与B互为相反数．
5． 6．a
7．解：=．
8．解：=．
9．解：==2（x-4）．
把x=-3代入上式，得原式=-14．
题型4
1．
2．6 点拨：由是同类二次根式，所以3a-8=17-2a，解得a=5．
3．C 4．D 5．C 6．B
7．解：
==+1-+1-=2．
8．解：
==．
∵x=sin45°·cot60°=××=，
∴原式==+1．
题型5
1．3 点拨：考查二次根式性质=│a│，由20，x-5<0，
所以=│x-2│+│x-5│=x-2+5-x=3．
2．3 3．C
4．C 点拨：由4==5，所以7<+3<8．
5．解：=．
6．解：化简得9x-5，
把x=-代入得
原式=-8．
7．解：a+（1-a）+=a+1-a+a+1=a+2，可选择不等于1的任意实数．
题型6
1．x1=3，x2=-7 点拨：本题属于阅读理解题，（x+2）2-25=0，解得x1=3，x2=-7．
2．4
3．解：（1）35克=（20+15克），
贴邮票0.8×2=1.6（元）；
（2）在大于100克且小于等于200克范围内的克数均可；
（3）
份数
重量（克）
总金额（元）
1
8
12+4=16
96+4=100
0.8+4=4.8
2
7
24+4=28
84+4=88
1.6+4=5.6
3
6
36+4=40
72+4=76
1.6+3.2=4.8
4
5
48+4=52
60+4=64
2.4+3.2=5.6
故9份答卷分1份、8份或3份、6份装，总金额最少，分别为4.8元，4.8元．
4．解：（1）如图．

因为组成此平行四边形的小圆圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]个，即2n个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．
所以1+3+5+7+…+（2n-1）==n2．
（2）如图．

因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，
所以共有（n×n）个，即n2个．
所以1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n2．
5．解：（1）log24=2，log216=4，log264=6．
（2）4×16=64，log24+log216=log264．
（3）logaM+logaN=loga（MN）．
证明：设logaM=b1，logaN=b2，
则ab1=M，ab2=N，
∴MN=ab1·ab2=ab1+b2．
∴b1+b2=loga（MN）．
即logaM+logaN=loga（MN）．
点评：此题是阅读理解题，主要考查学生的阅读理解能力及自学能力．