1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,2.3,恰当方程与积分因子,1/41,2/41,一、恰当方程定义及条件,假如我们恰好遇见了方程,就能够马上写出它隐式解,3/41,定义1,则称微分方程,是,恰当方程,.,如,是恰当方程.,1 恰当方程定义,4/41,需考虑问题,(1)方程(1)是否为恰当方程?,(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3)若(1)不是恰当方程,有没有可能转化为恰当方程求解?,2 方程为恰当方程充要条件,定理1,为,恰当方程充要条件,是,5/41,
2、证实,“必要性”,设(1)是恰当方程,故有,从而,故,6/41,“充分性”,即应满足,7/41,所以,实际上,8/41,故,(8),注:若(1)为恰当方程,则其通解为,9/41,二、恰当方程求解,1 不定积分法,例1,验证方程,是恰当方程,并求它通解,.,10/41,解:,故所给方程是恰当方程.,11/41,即,积分后得,:,故,从而方程通解为,12/41,2 分组凑微法,采取,“,分项组合,”,方法,把本身已组成全微分项分出来,再把余项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数全微分.,如,13/41,14/41,例2,求方程,通解,.,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即
3、或写成,故通解为,:,15/41,例3,验证方程,是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2解,.,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“,分项组合,”得,即,16/41,或写成,故通解为:,故所求初值问题解为:,17/41,3 线积分法,定理1充分性证实也可用以下方法:,由数学分析曲线积分与路径无关定理知:,18/41,从而(1)通解为,19/41,例4,求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,20/41,故通解为:,21/41,三、积分因子,非恰当方程怎样求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程,.,22/41,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,则,是恰当方程,.,可见,
4、对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,23/41,1 定义,例5,解:,对方程有,24/41,因为,把以上方程重新“分项组合”得,即,25/41,也即,故所给方程通解为:,2 积分因子确实定,即,26/41,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子路径.,27/41,变成,即,28/41,此时求得积分因子,29/41,30/41,3 定理,微分方程,31/41,32/41,例6,求微分方程,通解,.,解:,因为,故它不是恰当方程,又因为,33/41,利用恰当方程求解法得通解为,积分因子是求解积分方程一个极为主要方法,绝大多数方程求解都能够经过寻找到一个适当积分因子来处理,但
5、求微分方程积分因子十分困难,需要灵活利用各种微分法技巧和经验.下面经过例子说明一些简单积分因子求法.,34/41,例7,求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,35/41,即,故方程通解为:,例8,求解方程,解:,故方程不是恰当方程,36/41,方法1:,即,故方程通解为:,37/41,方法2:,方程改写为:,轻易看出方程左侧有积分因子:,故方程通解为:,38/41,方法3:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为,:,变量还原得原方程通解为:,39/41,方法4:,方程改写为:,故方程通解为:,即方程通解为,:,40/41,作业,P49 1,3,5,P49 7,10,14,16,18,22,41/41,
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